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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] - 2x
a) In welchen Punkten des Graphen hat die Funktion f die Steigung 4 ? Wie lauten die Tangentengleichungen in diesen Punkten ?
b) Welchen Abstand haben die beiden Tangenten ? |
Hallo , also ich habe 2 Tangentengleichungen, einmal :
[mm] t_1(x)= [/mm] 4x + [mm] \bruch{22}{3}
[/mm]
[mm] t_2(x)= [/mm] 4x - 13,5
Bei b) komme ich aber nicht mehr weiter , ich weiß halt nur , dass die beiden Tangentengleichungen parallel sind , da sie die gleiche Steigung m=4 haben , aber wie ich den Abstand berechnen soll , weiß ich leider nicht , hoffe ihr könnt mir helfen.
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Entschuldige, bisher stand hier großer Murks!
> Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] - 2x
>
> a) In welchen Punkten des Graphen hat die Funktion f die
> Steigung 4 ? Wie lauten die Tangentengleichungen in diesen
> Punkten ?
>
>
> b) Welchen Abstand haben die beiden Tangenten ?
> Hallo , also ich habe 2 Tangentengleichungen, einmal :
>
> [mm]t_1(x)=[/mm] 4x + [mm]\bruch{22}{3}[/mm]
>
> [mm]t_2(x)=[/mm] 4x - 13,5
>
> Bei b) komme ich aber nicht mehr weiter , ich weiß halt
> nur , dass die beiden Tangentengleichungen parallel sind ,
> da sie die gleiche Steigung m=4 haben , aber wie ich den
> Abstand berechnen soll , weiß ich leider nicht , hoffe ihr
> könnt mir helfen.
Du kannst mit einer gegebenen Gerade immer eine Normale konstruieren, die senkrecht auf dieser Geraden steht. Dafür muss gelten [mm] $m_t*m_n=-1$ [/mm] Wähle z.B. 4x + [mm]\bruch{22}{3}[/mm]. Eine Normale hierzu hat den negativen Kehrwert als Steigung und einen neuen Achsenschnittpunkt. Die neue Steigung beträgt also -1/4. Wähle dir also noch einen Punkt wie z.B. t(0)=22/3. Durch diesen Punkt geht dann auch deine Normale und du kannst deren y-Achsenabschnitt bestimmen. (hier ebenfalls die 22/3, da n(0)=22/3)
Wenn du die Normale hast, kannst du deren Schnittpunkt mit den beiden Tangenten bestimmen und deren Abstand ausrechnen, weil die beiden Schnittpunkte bereits den kürzesten Abstand voneinander haben.
Entschuldige, die Tangenten sind korrekt, mein Plotter hat die -2x verschluckt. Entschuldige die Versunsicherung!
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Danke erstmal für die Antwort.
Die Tangentengleichungen sind richtig , hab den Lehrer gefragt.
Mit "umgekehrter Steigung" kann ich leider nicht viel anfangen , alles was ich dazu sagen kann , ist dass die Normale dann orthogonal zu z.B 4x+ [mm] \bruch{22}{3} [/mm] ist , das heißt dann habe ich ja als neue , senkrechte Funktion [mm] -\bruch{1}{4}x [/mm] + [mm] \bruch{22}{3} [/mm] , dann habe ich jetzt die Schnittpunkte ausgerechnet , und habe S(4,9|6,10) und jetzt ?
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Hallo,
du brauchst zwei Schnittpunkte. Nämlich die Normale geschnitten mit beiden Tangenten. Der Abstand zwischen beiden Punkten ist auch der Abstand der beiden Tangenten. Oder wie würdest du den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden messen?
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> du brauchst zwei Schnittpunkte. Nämlich die Normale
> geschnitten mit beiden Tangenten.
Das heißt ja dann , einmal :
[mm] -\bruch{1}{4}x_s [/mm] + [mm] \bruch{22}{3} [/mm] = [mm] 4x_s-13,5
[/mm]
Das ist ja [mm] S_1(4,9|6,1)
[/mm]
Und jetzt nochmal , aber mit der anderen Tangentengleichung ?
[mm] -\bruch{1}{4}x_s [/mm] + [mm] \bruch{22}{3} [/mm] = [mm] 4x_s [/mm] + [mm] \bruch{22}{3}
[/mm]
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Hallo,
nachgerechnet habe ich nicht, aber vom Prinzip her: ja, genau so!
Gruß, Diophant
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Kurz noch eine Frage zur Berechnung :
[mm] -\bruch{1}{4}x_s [/mm] + [mm] \bruch{22}{3} [/mm] = [mm] 4x_s [/mm] + [mm] \bruch{22}{3}
[/mm]
[mm] -\bruch{17}{4} x_s [/mm] = 0
Ist das richtig ?
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Hallo,
ja das ist richtig. Ich sehe jetzt gerade, dass du die Normale durch den Achsenabschnitt einer der Tangenten gelegt hast. Somit ist natürlich [mm] S_2 (0|\bruch{22}{3}) [/mm] der gesuchte zweite Schnittpunkt. Und wie gesagt: der gesuchte Abstand ist der Abstand diesewr beiden Punkte. Und es ist sehr wichtig, einzusehen, weshalb dies so ist. Ist es dir klar?
Gruß, Diophant
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> Und es ist
> sehr wichtig, einzusehen, weshalb dies so ist. Ist es dir
> klar?
Naja , eine Eklärung von einem Mathelehrer wär nicht schlecht , verstanden würde ich so 50 % sagen , aber es wäre echt nett , wenn Sie mir helfen könnten , da solche Aufgaben in der Klausur auch rankommen werden und Mathe muss sitzen , da es LK ist..
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> > Und es ist
> > sehr wichtig, einzusehen, weshalb dies so ist. Ist es dir
> > klar?
>
> Naja , eine Eklärung von einem Mathelehrer wär nicht
> schlecht , verstanden würde ich so 50 % sagen , aber es
> wäre echt nett , wenn Sie mir helfen könnten , da solche
> Aufgaben in der Klausur auch rankommen werden und Mathe
> muss sitzen , da es LK ist..
>
Dann frag in Zukunft doch gleich, ehe wir es dir mühsam aus der Nase ziehen ;)
Also die Schritte bis zu den Tangentengleichungen sind dir bewusst? Dann setzen wir beim Abstand an.
Zunächst ist der Abstand zwischen den beiden Tangenten gefragt. Wären sie nicht parallel, würdest du sofort auf ein Problem stoßen, nämlich welches? Zum GLück sind sie aber parallel, was bedeutet das für den Abstand?
So jetzt müssen wir diesen Abstand bestimmen. Was kannst du über zwei beliebige Punkte auf den beiden Geraden wissen? Also wenn du einfach zwei Punkte wählst und sie verbindest, ist das der gesuchte Abstand? Wenn nicht, warum nicht? Was wäre denn der günstigste und damit geringste Abstand der beiden Tangenten?
Und jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wieso ist genau die Normale zu diesen Tangenten genau das, was du brauchst, um den minimalen Abstand zu berechnen? Welche Eigenschaft der Normalen ist dafür verantwortlich?
Viel Spaß ;)
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> Und jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wieso ist genau
> die Normale zu diesen Tangenten genau das, was du brauchst,
> um den minimalen Abstand zu berechnen? Welche Eigenschaft
> der Normalen ist dafür verantwortlich?
>
Das versuche ich ja rauszufinden , aber alles was ich weiß , ist , dass die Normale eine "orthogonale" Eigenschaft hat , sprich rechtwinklig auf der Tangente steht , aber mir ist immernoch nicht bewusst , warum man unbedingt auf die Orthogonalität zurückgreift , genau das will ich ja rausfinden..
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> > Und jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wieso ist genau
> > die Normale zu diesen Tangenten genau das, was du brauchst,
> > um den minimalen Abstand zu berechnen? Welche Eigenschaft
> > der Normalen ist dafür verantwortlich?
> >
>
> Das versuche ich ja rauszufinden , aber alles was ich weiß
> , ist , dass die Normale eine "orthogonale" Eigenschaft hat
> , sprich rechtwinklig auf der Tangente steht , aber mir ist
> immernoch nicht bewusst , warum man unbedingt auf die
> Orthogonalität zurückgreift , genau das will ich ja
> rausfinden..
>
Dann wäre es gut, du würdest meine ersten Fragen beantworten, denn die führen dich genau dahin. Also nochmal zurück und MACHEN was ich geschrieben habe! Nimm dir einfach zwei Punkte auf den beiden Tangenten, egal wo, verbinde sie und schau, ob das der gesuchte Abstand ist. Wird er nicht sein, warum? Weil es einen geringeren Abstand gibt. Mache dies solange, bis du den kleinstmöglichen Abstand gefunden hast. Was ist JETZT an diesem kleinsten Abstand, also der Verbindung zwischen zwei Punkten, das besondere? (Tipp: schau dir den Winkel zwischen Tangente und Abstand an)...
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Hi pc-doctor,
um die sehr guten Antworten von Adamantin noch etwas zu illustrieren: angenommen, du sollst den Abstand zweier Hauswände messen. Oder auch zweier Schienen. Oder die Breite eines Kantholzes. Oder...
Wie würdest du denn in allen diesen Fällen ganz praktisch vorgehen? 
Gruß, Diophant
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Naja , ich würde einfach , wenn ich z.B 2 Schienen habe , den Abstand ganz normal messen ? Ich will ja nur wissen , warum man auf die Orthogonalität zurückgreift..
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Hallo,
> Naja , ich würde einfach , wenn ich z.B 2 Schienen habe ,
> den Abstand ganz normal messen ? Ich will ja nur wissen ,
> warum man auf die Orthogonalität zurückgreift..
Was ist heutzutage schon normal? 
Also will sagen: was genau meinst du mit ganz normal messen?
Mal ein Beipiel: der Abstand zwischen zwei Eisenbahschienen beträgt in Deutschland (Nennmaß) 1435mm. Angenommen, ich messe jetzt an so einem Gleis eine Spurweite von 2m. Was habe ich da wohl falsch gemacht?
Gruß, Diophant
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Also ich finde es ja sehr gut , dass hier mit Beispieln einem geholfen wird , aber wirklich , das bringt mich garnicht weiter , ich sehe da garkeinen Bezug zur Aufgabe , tut mir leid , ist nicht böse gemeint , aber ich verstehe einfach die Verbindung zwischen den Sachen jetzt nicht , ich will ja nur wissen warum man an einer Tangente eine Normale anlegt um den Abstand mit der anderen Tangente zu berechnen ,das ist echt wichtig , die Schritte von Ihrem Vorredner habe ich auch befolgt , aber das bringt mich auch nicht weiter..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 21.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Also ich finde es ja sehr gut , dass hier mit Beispieln
> einem geholfen wird , aber wirklich , das bringt mich
> garnicht weiter , ich sehe da garkeinen Bezug zur Aufgabe ,
> tut mir leid , ist nicht böse gemeint , aber ich verstehe
> einfach die Verbindung zwischen den Sachen jetzt nicht ,
> ich will ja nur wissen warum man an einer Tangente eine
> Normale anlegt um den Abstand mit der anderen Tangente zu
> berechnen ,das ist echt wichtig , die Schritte von Ihrem
> Vorredner habe ich auch befolgt , aber das bringt mich auch
> nicht weiter..
Versuchen wir ein einfacheres Beispiel:
Warum sagen Eltern ihren kleinen Kindern immer wieder, dass sie eine Straße nicht schräg, sondern auf dem kürzesten Weg überqueren sollen?
Jetzt du.
Gruß Abakus
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Damit sie schneller ankommen ? Dann ist der Weg , den sie dabei zurücklegen , auch kürzer ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 21.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Damit sie schneller ankommen ? Dann ist der Weg , den sie
> dabei zurücklegen , auch kürzer ?
Aha, also ist der Weg "schräg über die Straße" nicht der kürzeste Weg.
Geht man hingegen senkrecht (orthogonal) zum Straßenrand...
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Das hatte ich mir schon gedacht , super Beispiel !
Vielen Dank , jetzt hab ich es kapiert :)
Ich habe jetzt [mm] S_1(0|\bruch{22}{3} [/mm] und [mm] S_2(4,90|6,10) [/mm] als Schnittpunkte
Was muss ich jetzt genau machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 21.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Das hatte ich mir schon gedacht , super Beispiel !
>
> Vielen Dank , jetzt hab ich es kapiert :)
>
> Ich habe jetzt [mm]S_1(0|\bruch{22}{3}[/mm] und [mm]S_2(4,90|6,10)[/mm] als
> Schnittpunkte
>
> Was muss ich jetzt genau machen ?
Falls es die richtigen Punkte sind (habe nicht nachgerechnet) musst du jetzt den Abstand zwischen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] berechnen.
Skizziere dazu das Steigungsdreieck zwischen den Punkten [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2. [/mm] Es ist rechtwinklig und nach deinen angegebenen Koordinaten 4,9 Einheiten breit und ca. 1,23 Einheiten hoch. Jetzt Pythagoras...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 21.09.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , hab jetzt 5,05 raus , das ist auch das Ergebnis , was uns unser Lehrer gesagt hat , vielen Dank an alle , war eine schwere Geburt :D Ist halt Mathe , rechnen kann jeder , man muss die Sachen verstehen und das wollte ich und habe ich auch heute erreicht , danke nochmal.
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