Tangenten und Normale < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Murmel87 |
Hallo.
Schreibe am Freitag eine Klausur. Als Thema kommt unter anderem wohl auch noch mal normale und Tangenten dran. Habe dazu noch mal aufgaben wiederholt. Ich weiß wie man die Tangente berechnet (wobei mir die Vorgehensweise trotzdem noch nichts ganz schlüssig ist) doch ich habe noch nicht raus bekommen wie die normale berechnet wird.
Es gibt ja für die beiden jeweils eine Gleichung. Doch die benutzt man ja irgendwie nicht um die Gleichung der Tangenten auszurechnen.
Eine Beispielaufgabe:
F(x) = xhoch2 P (2(4)
F:x = xhoch2
F´(x)= 2x
F´(2)= 2*2
(diesen schritt verstehe ich nicht, denn nach welcher Formel wird denn hier gerechnet? das die 2 für x eingesetzt wird ist klar aber nach welcher formel wird gerechnet, auf jeden fall nich nach der tangentgleichung)
T:y= 4x -4
N:y= -1/3x + 2,75
(wie man auf die 2,75 kommt ist mir nicht klar.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Murmel87 
> Schreibe am Freitag eine Klausur. Als Thema kommt unter
> anderem wohl auch noch mal normale und Tangenten dran. Habe
> dazu noch mal aufgaben wiederholt. Ich weiß wie man die
> Tangente berechnet (wobei mir die Vorgehensweise trotzdem
> noch nichts ganz schlüssig ist) doch ich habe noch nicht
> raus bekommen wie die normale berechnet wird.
> Es gibt ja für die beiden jeweils eine Gleichung. Doch die
> benutzt man ja irgendwie nicht um die Gleichung der
> Tangenten auszurechnen.
Wenn das durch meine Antwort jetzt nicht klarer werden sollte, versuche den Problem bitte etwas deutlicher zu beschreiben, denn so richtig verstehe ich es noch nicht...
> Eine Beispielaufgabe:
> F(x) = xhoch2 P (2(4)
>
> F:x = xhoch2
> F´(x)= 2x
>
> F´(2)= 2*2
> (diesen schritt verstehe ich nicht, denn nach welcher
> Formel wird denn hier gerechnet? das die 2 für x eingesetzt
> wird ist klar aber nach welcher formel wird gerechnet, auf
> jeden fall nich nach der tangentgleichung)
Doch, schon.
Die erste Ableitung einer Funktion gibt ja für jedes [mm] x_0 [/mm] die Steigung m der Tangente (-ngleichung) an.
In diesem Fall also erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate [mm] x_0 [/mm] in F'(x)=2x die Steigung der Tangente an der Stelle [mm] x_0, [/mm] also [mm] m=F'(x_0).
[/mm]
Und da hier die Tangente an der Stelle [mm] x_0=2 [/mm] gebildet werden soll, wird 2 eingesetzt:
[mm] m=F'(2)=\blue{4}
[/mm]
> T:y= [mm] \blue{4}x [/mm] -4
In dieser Tangentengleichung findet sich blau markiert schon mal diese Steigung von oben wieder.
Den Achsenabschnitt -4 erhältst du durch Einsetzen eines Punktes:
Wie haben bisher gefunden: [mm] $y=\blue{4}x+b$
[/mm]
Da diese Gerade auch den Punkt [mm] P(\red{2}|\red{4}) [/mm] verläuft, muss der Achsenabschnitt gerade so gewählt sein, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt:
[mm] $\red{4}=\blue{4}*\red{2}+b$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $b=4-8=-4$
So ist man auf den y-Achsenschnitt von oben gekommen.
> N:y= -1/3x + 2,75
> (wie man auf die 2,75 kommt ist mir nicht klar.)
Zunächst einmal: Das ist nicht die Normale, die zu dem oben gegebenen Punkt gebildet wurde, die Normalengleichung stammt also von einer anderen (Teil-) Aufgabe.
Die Normale ist ja auch eine "stinknormale" (daher der Name  (nein, der kommt von "normal", also senkrecht irgendwo zu)) Gerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt.
Die Steigung [mm] $m_n$ [/mm] der Normale berechnet sich immer über die Steigung [mm] $m_t$ [/mm] der Tangente, denn für diese beiden Steigungen gilt die Formel:
[mm] $m_t*m_n=-1$
[/mm]
Die Steigung der zu der obigen Aufabe gebildeten Normale muss also der Gleichung [mm] $4*m_n=-1$ $\gdw$ $m_n=-\bruch{1}{4}$ [/mm] genügen.
Ihre Gleichung lautet damit: [mm] $y=-\bruch{1}{4}*x+c$
[/mm]
Wie oben ermittelt man den y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes:
[mm] $4=-\bruch{1}{4}*2+c$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $c=4+\bruch{1}{4}=\bruch{17}{4}=4,25$
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße,
Marc
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