Tangenten und Geraden?!?! < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Moin! Ich hab folgende Hausaufgabe vor mir liegen und komme leider nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen!
Aufgabenstellung: Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P(u|?) des Schaubildes von f. Bestimme zur Geraden g den Schnittpunkt Q mit der Tangente. Untersuche, ob es von Q aus weitere Tangenten an das Schaubild von f gibt, und gib ggf. ihre Gleichungen an.
[mm] f(x)=x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 10x - 4
u=2
g: y=x + 8
Danke schonmal für Eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
Willkommen im Matheraum! 
> Moin! Ich hab folgende Hausaufgabe vor mir liegen und komme
> leider nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei
> helfen!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, hier kann bestimmt jemand helfen. Aber dazu müssen wir doch schon zuerst wissen, wie weit du denn gekommen bist! Es hat ja keinen Sinn, wenn du schon 90 % geschafft hast, und nur noch 10 % fehlen! Dann wäre es schade um die Zeit, bis wir die durch dich ja ohnehin geschafften 90 % auch zuerst durchgerechnet haben.
> Aufgabenstellung: Bestimme die Gleichung der Tangente t im
> Punkt P(u|?) des Schaubildes von f. Bestimme zur Geraden g
> den Schnittpunkt Q mit der Tangente. Untersuche, ob es von
> Q aus weitere Tangenten an das Schaubild von f gibt, und
> gib ggf. ihre Gleichungen an.
>
> [mm] f(x)=x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 10x - 4
> u=2
> g: y=x + 8
>
Teile uns also doch bitte zuerst mit, was du schon herausbekommen hast, und wo es dann nicht mehr weitergeht! Von hier an wird dir dann ganz bestimmt (Ehrenwort) weitergeholfen. Du weisst ja, wir führen DFialoge, wir halten keine Vorträge.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Also bisher hab ich direkt zu der Fragestellung nicht wirklich was...
Ich habe es zunächst versucht mit einem Schaubild zu erklären.
Q(-1,3|6,7), wenn ich richtig liege (ist nur abgelesen).
Dazu muss ich eigentlich sagen, dass ich schon ein Problem hatte, die Tangentengleichung auszurechnen. x=2 ist eine Nullstelle.
P(2|0), Tangentengleichung: t: y=-2x + 4.
Tjoa, und da hänge ich jetzt fest....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
> Also bisher hab ich direkt zu der Fragestellung nicht
> wirklich was...
> Ich habe es zunächst versucht mit einem Schaubild zu
> erklären.
>
> Q(-1,3|6,7), wenn ich richtig liege (ist nur abgelesen).
> Dazu muss ich eigentlich sagen, dass ich schon ein Problem
> hatte, die Tangentengleichung auszurechnen. x=2 ist eine
> Nullstelle.
> P(2|0), Tangentengleichung: t: y=-2x + 4.
>
Ja, das stimmt!
Kannst du noch sagen, wie du drauf gekommen bist, dass die Steigung der Tangente den Wert [mm]-2[/mm] hat?
Du sagst ja, du habest Schwierigkeiten dabei gehabt! Und die sollten doch ausgeräumt werden! 
...Und dann sollten wir noch den Schnittpunkt Q der beiden Geraden herausfinden, aber berechnen, nicht nur ablesen! (Ich habe ihn noch nicht kontrolliert, Eins nach dem Anderen)
Und das geht doch mit folgender Ueberlegung:
Die Punkte, die auf t liegen, genügen der Gleichung
[mm]y=-2x+4[/mm]
Die Punkte auf der Geraden g genügen der Gleichung
[mm]y=x+8[/mm]
Wenn Q nun der Schnittpunkt der zwei Geraden sein soll (der Geraden und der Tangente), dann muss er also beiden Gleichungen genügen. Die beiden Geradengleichungen sind also als Gleichungssystem aufzufassen und nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] aufzulösen, um den Punkt Q zu erhalten.
Machst du bitte mal bis hierhin weiter und teilst das Ergebnis mit, damit wir nachher weiterschauen können?
Mitr lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Ach, darauf hätte ich selbst kommen können *g*
Die Steigung war kein Problem: m=f'(x)
Mein Problem war das b (also mx+b)... das habe ich dann auch mehr oder weniger abgelesen, da -2x + b=0, wobei x=2, sein musste.
Übrigens war es g: y=x + 8, nicht -x! (Ich kann grad nicht lesen, ob ichs falsch geschrieben hab).
x + 8 = -2x + 4 | +2x; -8; /3;
x = -4/3
-4/3 + 8 = 6 2/3
also Q(-4/3|6 2/3)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
> Ach, darauf hätte ich selbst kommen können *g*
> Die Steigung war kein Problem: m=f'(x)
> Mein Problem war das b (also mx+b)... das habe ich dann
> auch mehr oder weniger abgelesen, da -2x + b=0, wobei x=2,
> sein musste.
Ja, genau so geht das auch. Aber ich verstehe nicht, warum du das abgelesen hast!?
Deine Gleichung ist ja völlig korrekt:
[mm]-2x + b = 0[/mm], wobei [mm]x = 2[/mm]
Da musst du ja nur das [mm]x[/mm] einsetzen (also [mm]2[/mm]), und du erhältst:
[mm]-2*2 + b = 0[/mm], und das löst du dann noch nach b auf!
Keine Hexerei, oder?
> Übrigens war es g: y=x + 8, nicht -x! (Ich kann grad nicht
> lesen, ob ichs falsch geschrieben hab).
>
Danke, hab ich inzwischen korrigiert!
> x + 8 = -2x + 4 | +2x; -8; /3;
> x = -4/3
>
> -4/3 + 8 = 6 2/3
>
> also Q(-4/3|6 2/3)
>
Alles super, bis hierhin!
Wie geht es jetzt aber weiter?
Wir sollten noch untersuchen, ob es noch weitere Tangenten durch Q gibt.
Meine Idee wäre folgende: versuche doch einmal, eine Tangentengleichung an einen beliebigen Punkt des Graphen aufzustellen. (Z.B. im Punkt [mm] R(x_0,?))
[/mm]
Kannst du das mal versuchen?
Wenn du keine Idee dazu hast, dann meldest du dich bitte wieder.
Der letzte Schritt wird dann nur noch darin bestehen, jene Tangenten auszuwählen, welche den Punkt Q enthalten. Aber das machen wir etwas später, zunächst einmal die Tangentengleichung, bitte.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Achja, irgendwie kann ich mich heute ziemlich dumm stellen :(
Aber Danke, dass du so und nicht mit irgendwelchen blöden Kommentaren reagierst ;)
Jetzt zur Sache:
Also öhm, ich kanns versuchen, aber ich glaube nicht, dass das richtig ist....
t: [mm] (3x^2 [/mm] - 12x + 10)*x0 + b = 0
?!?!?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Ich muss jetzt ins Bett, hab morgen zur 1. und Doppelstunde Franz *würg*
Es wäre klasse, wenn Du mir einen Ansatz liefern könntest!! Die Aufgabe ist zu morgen...
Danke für Deine bisherige Hilfe!!
~Taurus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
> Achja, irgendwie kann ich mich heute ziemlich dumm stellen
> :(
> Aber Danke, dass du so und nicht mit irgendwelchen blöden
> Kommentaren reagierst ;)
Nein, mit irgendwelchen blöden Kommentaren hat man keinen Erfolg!
Im Gegenteil, ich finde es wirklich toll, wie du mitmachst!
Und weisst du: nur wenn man sich getraut, genau zu zeigen, wo man seine Schwächen hat, können diese auch ausgemerzt werden! Also: nur keine Hemmungen!
> Jetzt zur Sache:
> Also öhm, ich kanns versuchen, aber ich glaube nicht, dass
> das richtig ist....
>
> t: [mm] (3x^2 [/mm] - 12x + 10)*x0 + b = 0
>
> ?!?!?!
>
Ja, ein leiser Ansatz ist zu erkennen! du hast also erkannt, dass die Steigung die 1. Ableitung ist.
Aber in welchem Punkt denn?
Nun: wir versuchen, eine Geradengleichung hinzubringen, die durch den Punkt [mm] R(x_0,y_0) [/mm] geht. Der Punkt [mm] y_0 [/mm] errechnet sich aus der Funktionsgleichung ( [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] ), und die Steigung ist die 1. Ableitung der Funktion beim Wert [mm]x = x_0[/mm]
Und nun mal ganz losgelöst von unserer Aufgabe:
kannst du mir die Geradengleichung sagen, wenn ich fordere:
1) Die Steigung der Geraden ist [mm]m[/mm]
2) die Gerade geht durch den Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] ?
Kannst du mir vorerst nur mal diese letzte Frage beantworten?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Oh Taurus99
das ist wirklich schade, dass du jetzt ins Bett musst. Aber ein gesunder Schlaf ist eben auch sehr wichtig! Ich wünschte, mein Nachwuchs würde so anstandslos zu Bett gehen!!
Also, da du bis anhin so gut mitgearbeitet hast, mache ich die Rechnung noch fertig. (Ich bin überzeugt, du schaust sie dir am Morgen ganz früh an )
Nun mal zur Antwort meiner obigen Frage:
Die Gerade durch den Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit der Steigung [mm]m[/mm] hat die Gleichung:
[mm]y - y_0 = m*(x-x_0)[/mm]
oder
[mm]y = m*x-m*x_0+y_0[/mm]
Von unserer Funktion wissen wir nun, dass wir für [mm]m[/mm] den Ausdruck
[mm](3x_0^2-12x_0+10)[/mm] einsetzen müssen (Tangentensteigung bei [mm] x_0)
[/mm]
und für [mm] y_0 [/mm] den Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] , also
[mm]y_0 = x_0^3 - 6x_0^2 + 10x_0 - 4[/mm]
Das ergibt die etwas kompliziert aussehende Gleichung:
[mm]y = (3x_0^2-12x_0+10)*x - (3x_0^2-12x_0+10)*x_0+x_0^3 - 6x_0^2 + 10x_0 - 4[/mm] oder
[mm]y = (3x_0^2-12x_0+10)*x - 2x_0^3 + 6x_0^2 - 4[/mm]
Wenn nun Q auf der Tangente liegen soll, dann können wir doch einfach in der Gleichung für [mm]x[/mm] den x-Wert von Q einsetzen ([mm]-\bruch{4}{3}[/mm]), und für [mm]y[/mm] den y-Wert von Q ([mm]\bruch{20}{3}[/mm]).
Somnit erhalte ich die Gleichung:
[mm]\bruch{20}{3} = (3x_0^2-12x_0+10)*(-\bruch{4}{3}) - 2x_0^3 + 6x_0^2 - 4[/mm]
Das muss jetzt nur noch nach [mm] x_0 [/mm] aufgelöst werden
Also los, ich forme einfach mal um:
Klammern ausmultiplizieren:
[mm]\bruch{20}{3} = -4x_0^2+16x_0-\bruch{40}{3} - 2x_0^3 + 6x_0^2 - 4[/mm]
Gleiche Potenzen zusammenfassen und ordnen:
[mm]\bruch{20}{3} = -2x_0^3+2x_0^2 + 16x_0 - 4 - \bruch{40}{3}[/mm]
Und alles auf die linke Seite gebracht:
[mm]2x_0^3 - 2x_0^2 - 16x_0 +24 = 0[/mm]
Und noch alles durch 2 geteilt:
[mm]x_0^3 - x_0^2 - 8x_0 +12 = 0[/mm]
So, das sieht doch schon mal ganz anständig aus!
Ach so, was wollten wir überhaupt?
Ja, nach [mm] x_0 [/mm] auflösen! (Puh, Gleichung 3. Grades!)
Nicht halb so schlimm! Wir wissen ja, dass bei den gefundenen [mm] x_0 [/mm] jeweils eine Tangentengleichung herausschaut. Und wir wissen auch, dass bei der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 2 eine Tangente ist. Das heisst aber, dass [mm] x_0 [/mm] eine Lösung unserer Gleichung sein muss. Somit können wir ja [mm](x_0-2)[/mm] als Faktor abspalten.
Wenn dir das nicht klar ist, dann frag irgendwann noch nach! Es lohnt sich, das zu begreifen!
Die Gleichung ergibt sich dann zu
[mm](x_0 - 2)*(x_0^2 + x_0 - 6) = 0[/mm]
Und ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist!
Um die zwei noch unbekannten [mm] x_0 [/mm] zu finden, setzen wir also:
[mm]x_0^2 + x_0 - 6 = 0[/mm]
Nach der p-q-Formel (Hoffentlich heisst sie so, bei mir hat sie bisher noch nie einen Namen gehabt) kommt
[mm]x_0 = \bruch{-1 +/- \wurzel{25}}{2} = \bruch{-1 +/- 5}{2}[/mm], also
[mm]x_0 \in \{-3, 2\}[/mm]
Ha! Bei [mm] x_0 [/mm] = 2 haben wir also eine Doppellösung!
Es gibt also nur noch eine zusätzliche Tangente bei [mm]x_0 = -3[/mm]
Dort hat die Steigung den Wert [mm]27+36+19 = 73[/mm]
und [mm]y_0 = -115[/mm], und das in der Geradengleichung eingesetzt:
[mm]y = 73x + 73 * 3 - 115[/mm] oder
[mm]y = 73x + 104[/mm]
Hoffentlich habe ich mich nirgends verrechnet! (Ich benutze prinzipiell keinen Rechner, um fit zu bleiben )
Zur Kontrolle kann man ja noch den Punkt Q einsetzten, die Gleichung müsste stimmen! (Tut sie auch, habe ich gemacht)
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:48 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Hey, das sieht ja gar nicht so kompliziert aus! Ich habe alles ganz gut nachvollziehen können. Sowohl p,q-Formel als auch Polynomdivision sind mir bekannt. Ich habe die 2. Lösung noch nicht nachgerechnet, aber es würde sich so ziemlich mit meinem Schaubild decken.
Vielen vielen Dank!! Ich werde Dich nochmal davon unterrichten, wie es gelaufen ist :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Heyho. Es hat sich gelohnt!! Danke nochmals :)
Ich muss das jetzt jedoch noch mit der linearen Gleichung lösen - y=mx+b.
Jetzt krieg ich das mit dem b nicht hin, da bei der Polynomdivision noch 2 Variablen stehen und ich das nicht richtig verwerten kann.
Was kann man da tun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Also wir suchen ja [mm]P(x_t|y_t).[/mm].
Formel: [mm] y_t=mx_t+b
m=f'(x_t)
y_t=f(x_t)
x_t^3-6x_t^2+10x_t-4=(3x_t^2-12x_t+10)(x_t)+b
[/mm]Also: [mm]x_t^3-3x_t^2+2=b[/mm]
Wenn ich jetzt durch (x-2) dividiere, dann habe ich immer noch das b drin, das ich nicht wegbekomme?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Ich muss das mit der Eingabe noch richtig lernen ;)
Nochmal:
Also wir suchen ja [mm]P(x_t|y_t).[/mm].
Formel: [mm] y_t=mx_t+b [/mm]
[mm]m=f'(x_t) [/mm]
[mm]y_t=f(x_t) [/mm]
[mm]x_t^3-6x_t^2+10x_t-4=(3x_t^2-12x_t+10)(x_t)+b [/mm]
Also: [mm]x_t^3-3x_t^2+2=b[/mm]
Wenn ich jetzt durch [mm](x-2)[/mm] dividiere, dann habe ich immer noch das [mm]b[/mm] drin, das ich nicht wegbekomme?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Di 11.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
bitte entschuldige, dass es so lange gedauert hat, ich bin zur Zeit auch noch an einer anderen Aufgabe..
> Also wir suchen ja [mm]P(x_t|y_t).[/mm].
> Formel: [mm]y_t=mx_t+b[/mm]
> [mm]m=f'(x_t)[/mm]
> [mm]y_t=f(x_t)[/mm]
>
Hier muss ich dich bitten, nochmals die Antwort, die du in aller Herrgottsfrühe angeschaut hast, nochmals durchzugehen.
Dort haben wir ja herausgefunden, dass die Tangentenformel die Gestalt
[mm]y - y_t= m*(x - x_t)[/mm]
hat.
Und weiter, einfach etwas umgeformt:
[mm]y= mx - mx_t +y_t[/mm]
Oder, speziell für den jetzigen Zweck nochmals ein Wenig umgeformt:
[mm]y= mx + (y_t - mx_t)[/mm]
Der Ausdruck in der Klammer entspricht jetzt unserem [mm]b[/mm].
[mm]b[/mm] kommt also gar nicht mehr vor, es hat ja den Wert [mm]y_t - mx_t[/mm], wovon ja alle Werte bekannt sind resp. berechnet werden können.
Vergleichst du das bitte nochmals mit der Morgenlektüre?
Und meldest dich bei Unklarheiten halt einfach wieder?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Ja, ich habe das dem Lehrer heute morgen vorgestellt und er wollte das anders haben. Hmm... frag mich nicht warum! Ich habe ihm auch schon gesagt, dass es ohne weiteres nicht geht.
Ich glaube, das werde ich ihm morgen nochmals sagen
Danke für Deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 11.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
ich glaube, jetzt weiss ich, was dein Lehrer wollte:
Er sagte sich (und euch) wohl:
Ok, ich suche eine Tangentengleichung.
Diese hat die Form
[mm]y = mx + b[/mm]
Und ich weiss, dass [mm]m = f'(x_t)[/mm]
Dies kann man also mal einsetzen und erhält:
[mm]y_t = f'(x_t)*x_t + b[/mm]
... und das kann man ja nach b auflösen:
[mm]b = y_t - f'(x_t)*x_t[/mm]
Und das wiederum kann in der Geradengleichung für die Tangente im Punkt [mm](x_t,y_t)[/mm] eingesetzt werden.
Also so:
[mm]y = mx + b[/mm]
[mm]y = f'(x_t)*x + y_t - f'(x_t)*x_t[/mm]
Ein etwas anderer Weg, auf die Tangentengleichung zu kommen, aber auch absolut logisch!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Di 11.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Blöderweise ergibt: [mm] y_t=f'(x_t)(x_t)+y_t-f'(x_t)(x_t) [/mm]
0, da [mm]y_t-y_t=0 und f'(x_t)(x_t)-f'(x_t)(x_t)=0 [/mm]
Das haben wir aber auch durch das Gleichsetzen mehr oder weniger "provoziert". Wir haben ja nur eine Gleichung, die können wir ja in sich selbst nicht nochmal einsetzen.
Oder liege ich da jetzt falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Di 11.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taurus99
> Blöderweise ergibt: [mm]y_t=f'(x_t)(x_t)+y_t-f'(x_t)(x_t)[/mm]
> 0, da [mm]y_t-y_t=0 und f'(x_t)(x_t)-f'(x_t)(x_t)=0[/mm]
> Das
> haben wir aber auch durch das Gleichsetzen mehr oder
> weniger "provoziert". Wir haben ja nur eine Gleichung, die
> können wir ja in sich selbst nicht nochmal einsetzen.
> Oder liege ich da jetzt falsch?
>
Ja, dass soll auch so sein! Gottseidank ist das so!
Mit dem "blöderweise" liegst du tatsächlich falsch!
Die Gleichung der Tangente heisst ja:
[mm]y = f'(x_t)*x + y_t - f'(x_t)*x_t[/mm]
Nun, wenn du jetzt irgendeinen Punkt der x-y-Ebene einsetzt, und die Gleichung ist erfüllt, dann weiss man, dass dieser Punkt auf der Tangente liegt. Klar?
Wenn aber etwas Falsches herauskommt, dann liegt der Testpunkt eben nicht auf der Tangente.
Da der Punkt [mm](x_t,y_t)[/mm] mit Sicherheit auf der Tangente liegt, kommt somit auch eine richtige Gleichung heraus. (in diesem Falle: [mm]0 = 0[/mm], und das stimmt ja!)
Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel:
Unsere Tangentengleichung lautet:
[mm]y = 73x + 104[/mm]
Ich frage mich zum Beispiel: Liegt der Punkt [mm](3,5)[/mm] auf der Tangente?
Um dies zu bestimmen, setze ich also ein: [mm]x = 3[/mm] und [mm]y = 5[/mm]
Also: [mm]5 = 73*3 + 104[/mm]
... und das stimmt offensichtlich nicht! Somit liegt [mm](3,5)[/mm] nicht auf der Tangente.
Oder ein anderer Test: Liegt [mm](-\bruch{4}{3},\bruch{20}{3})[/mm] auf der Tangente?
Dies ergibt:
[mm]\bruch{20}{3} = -\bruch{4}{3}*73 + 104[/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt, also liegt [mm](-\bruch{4}{3},\bruch{20}{3})[/mm] auf der Tangente! Und das ist cool!
Alles klar?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Taurus99 |
Na klar sieht man mich wieder
Vielleicht auch mir der ein oder anderen Antwort....
Alex
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