Tangenten an einen Graphen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lege vom Punkt P(1/0) aus Tangenten an den Graphen [mm] K:f(x)=\bruch{1}{2}x^2. [/mm] Bestimme die Gleichung der Tangenten und die Berührpunkte. |
Hallo, wir behandeln zur Zeit die Ableitfunktionen, haben dazu auch schon Aufgaben gemacht wo man den Berührpunkt weiß und dann die Tangentengleichung ausrechen soll. Aber hier kapiere ich einfach nicht wie man auf diese kommt, weil man ja nicht die Steigung errechnen kann, da man den Berührpunkt ja auch nicht weiß. Vielen dank für die Antworten schonmal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Fr 18.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du suchst ja eine Gerade t(x)=mx+n, die durch den Punkt P(1/0) verläuft und Tangente am Graphen [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x² [/mm] sein soll. Die Steigung ist dieselbe, wie am unbekannten Berührpunkt [mm] B(x_{b}/\bruch{1}{2}x_{b}²)
[/mm]
Also hat sie die Steigung [mm] m=f'(x_{b})=x_{b} [/mm] (f'(x)=x)
Somit gilt:
[mm] t(x)=x_{b}*x+n
[/mm]
Jetzt gilt:
t(1)=0
[mm] \Rightarrow 0=x_{b}*1+n
[/mm]
[mm] \gdw n=-x_{b}
[/mm]
Also ist [mm] t(x)=x_{b}*x-x_{b}
[/mm]
Und jetzt setzt du den Berührpunkt, der ja auch auf der Tangente liegt ein.
Also:
[mm] \underbrace{\bruch{1}{2}x_{b}²}_{f(x_{b})}=\underbrace{x_{b}}_{m}*x_{b}\underbrace{-x_{b}}_{n}
[/mm]
[mm] \gdw 0=\bruch{1}{2}x_{b}²-x_{b}
[/mm]
[mm] \gdw 0=x_{b}(\bruch{1}{2}x_{b}-1)
[/mm]
[mm] \gdw x_{b}=0 \vee \bruch{1}{2}x_{b}-1=0\Rightarrow x_{b}=2
[/mm]
[mm] x_{b}=0 [/mm] ist keine vernünftige Lösung, bleibt [mm] x_{b}=2.
[/mm]
Also: t(x)=2x-2
Und der Berührpunkt ... naja, das sollte jetzt kein Problem mehr sein.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Razorback |
vielen Dank habs jetzt verstanden!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 18.05.2007 | | Autor: | statler |
> [mm]x_{b}=0[/mm] ist keine vernünftige Lösung
Also ich finde die ebenso vernünftig wie die andere. Es ist doch auch nach Tangentennn gefragt.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 18.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hast recht. Ich habe den Punkt P als (0/1) angesehen, dann wäre es eine Senkrechte.
Aber t(x)=0 ist natürlich auch eine vernünftige Tangente Tangente.
Marius
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