Tangente und Ellipse < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
| Aufgabe | | Wie heißen die Tangenten von [mm] P_{0}(12/4) [/mm] aus an die Ellipse [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{16} [/mm] = 1 ? |
Hallo,
ich schreibe in 2 Wochen eine Mathe-Prüfung und habe folgende Aufgabestellung, wo ich nicht weiß wie man es lösen kann.
Den Ansatz den ich hätte wäre einmal die allgmeine Tangentengleichung in der 2-Punkt-Form :
[mm] \bruch{y-y_{0}}{x-x_{0}} [/mm] = f'(x)
Aufgelöst nach x :
[mm] x=\wurzel{4-\bruch{y²}{4}}
[/mm]
Aufgelöst nach y :
[mm] y=\wurzel{16-4x²}
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt auf die Tangentengleichungen ?
Ich habe eine Aufgabe von der Sorte leider noch nie gelöst...
Lieben Gruß
Mubidoo
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hallo!
Damit, dass du die Tangentengleichung nach y aufgeloest hast, hast du doch schon das eigentlich schwierige an dieser Aufgabe erledigt. Du hast damit eine Funktion f(x), die dir die y-Werte liefert.
Denk dran, diese Funktion liefert dir nur die obere Haelfte der Funktion. Nach dem Wurzel ziehen muesstest du zwei Loesungen angeben, eine positive und eine negative. Das ist hier aber egal, denn der Punkt liegt auf der oberen, positiven Kurve, und du kannst mit deiner weiterrechnen.
Nun musst du die Ableitung bilden, den x-Wert des Punktes einsetzen, und bekommst die Steigung m heraus.
Nun brauchst du die Gleichung y=mx+b. m hast du grade berechnet, fuer x und y kannst du ja die Koordinaten des Punktes einsetzen, und bekommst so auch das b raus. Damit bist du fertig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
> hallo!
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> Damit, dass du die Tangentengleichung nach y aufgeloest
> hast, hast du doch schon das eigentlich schwierige an
> dieser Aufgabe erledigt. Du hast damit eine Funktion f(x),
> die dir die y-Werte liefert.
Du meinst [mm] y=\wurzel{16-4x^{2}} [/mm] ?
> Denk dran, diese Funktion liefert dir nur die obere Haelfte
> der Funktion. Nach dem Wurzel ziehen muesstest du zwei
> Loesungen angeben, eine positive und eine negative. Das ist
> hier aber egal, denn der Punkt liegt auf der oberen,
> positiven Kurve, und du kannst mit deiner weiterrechnen.
>
>
> Nun musst du die Ableitung bilden...
Ableitung von y bzw. f(x) = [mm] \wurzel{16-4x^{2}} [/mm] = [mm] (16-4x^{2})^{\bruch{1}{2}}:
[/mm]
Ableitung durch Kettenregel :
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}(16-4x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] * (-8x) = [mm] \bruch{-8x}{2*\wurzel{16-4x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{-4x}{\wurzel{16-4x^{2}}} [/mm]
> ... , den x-Wert des Punktes
> einsetzen, ...
Wenn ich für x 12 in die Ableitung einsetze, erhalte ich einen negativen Wert unter der Wurzel des Nenners ! Hab ich da was falsch verstanden ?
Mubidoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Fr 14.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es gibt auch eine "standardisierte" Tangentengleichung.
Wenn [mm] (x_1;y_1) [/mm] ein Punkt der Ellipse [mm] \bruch{(x-c)^2}{a^2}+\bruch{(y-d)^2}{b^2}=1 [/mm] ist,
dann lautet die Tangentengleichung
[mm] \bruch{(x-c)(x_1-c)}{a^2}+\bruch{(y-d)(y_1-d)}{b^2}=1
[/mm]
Ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr das Thema "Tangenten an Ellipsen" ohne Erwähnung dieser Formel behandelt habt.
In deinem Fall wird die Gleichung besonders einfach, weil c und d Null sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hallo,
wir hatten das Thema eigentlich überhaupt nicht besprochen. Der Prof. ist neu und hat uns zur eigenen Vorbereitung halt nur auf Klausurthemen von seinem Vorgänger verwiesen. Dass das alles andere als optimal ist, ist mir klar. Obwohl ich nicht glaube, dass das als Thema dran kommt wollte ich mich lieber informieren, da der alte Prof. das Thema entweder in der Form oder mit einem Kreis in fast jeder Klausur abgefragt hat.
Ich tappe daher wie im Nebel bei solchen Aufgaben, aber ich kann mir vorstellen, dass es sich bei dem c und dem d, welcher zur Erschwerung für mich noch zusätzlich dazugekommen sind um die Verschiebung der Ellipse vom Nullpunkt des Koordinatensystems handelt.
Ansonsten sieht das eher aus für mich wie fachchinesisch. weduwe hat es mir relativ gut erklären können, weshalb ich dort schon fast die Lösung habe, allerdings ist noch eine Sache unklar, wo Du Dich gerne einbringen kannst.
Mubidoo
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Hallo!
Ich hab mal wieder nicht aufgepasst, sorry. Es ja ist keine Tangente in einem Punkt der Ellipse gefragt, sondern eine Tangente, die AUCH einen Punkt enthält. Dann funktioniert mein Lösungsvorschlag natülich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Fr 14.03.2008 | | Autor: | weduwe |
eine einfache möglichkeit wäre, die berührpunkte mit hilfe der polaren zu bestimmen, dann hast du 2 punkte für je eine tangente:
die polare bekommst du durch aufspalten der ellipsengleichung
[mm]\frac{xx_p}{4}+\frac{yy_p}{16}=1\to y=4-12x[/mm]
wenn du nun diese greade mit der ellpse schneidest, bekommst du die beiden berührpunkte, z.b [mm] B_1(0/4)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hallo weduwe,
die Sache mit der Polaren hört sich doch sehr plausibel an, weil man den gegebenen Punkt als aussen liegenden Pol betrachten kann.
Ich habe mal Deine durch "Aufspaltung" entstandene y-Gleichung genommen und sie in die Ellipsengleichung eingesetzt und zwei Lösungen errechnet.
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{24}{37} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = 0
Wenn ich diese in [mm] y=\wurzel{16-4x} [/mm] einsetze erhalte ich folgende Berührpunkte : [mm] P_{1}(\bruch{24}{37}/\bruch{140}{37}) [/mm] und [mm] P_{2}(0/4)
[/mm]
Für mich stellen sich jetzt noch folgende Fragen:
Wie bildet man daraus die Tangentengleichungen ?
Unter welchen Bedingungen kann man die Ellipsengleichung so Aufspalten (nur bei aussen liegenden Pol?) ?
Wie hast Du y errechnet ?
und funktioniert das auch Kreisen genauso ?
Mubidoo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Sa 15.03.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe,
>
> die Sache mit der Polaren hört sich doch sehr plausibel an,
> weil man den gegebenen Punkt als aussen liegenden Pol
> betrachten kann.
>
> Ich habe mal Deine durch "Aufspaltung" entstandene
> y-Gleichung genommen und sie in die Ellipsengleichung
> eingesetzt und zwei Lösungen errechnet.
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{24}{37}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] = 0
>
> Wenn ich diese in [mm]y=\wurzel{16-4x}[/mm] einsetze erhalte ich
> folgende Berührpunkte :
> [mm]P_{1}(\bruch{24}{37}/\bruch{140}{37})[/mm] und [mm]P_{2}(0/4)[/mm]
>
> Für mich stellen sich jetzt noch folgende Fragen:
> Wie bildet man daraus die Tangentengleichungen ?
> Unter welchen Bedingungen kann man die Ellipsengleichung
> so Aufspalten (nur bei aussen liegenden Pol?) ?
> Wie hast Du y errechnet ?
> und funktioniert das auch Kreisen genauso ?
>
>
> Mubidoo
zunächst: du darfst nicht in die ellipsengleichung einsetzen, sondern in die polarengleichung [mm]y = 4 - 12x[/mm] , um den EINDEUTIGEN y-wert zu erhalten. das ergibt z.b [mm] B_1(0/4). [/mm] und der 2. punkt der geraden ist ja der pol.
damit hast du 2 punkte der geraden,
jetzt kannst du das ganze vektoriell machen:
[mm] \vec{x}=\vektor{12\\4}+t\vektor{1\\0}= [/mm] oder z.b mit der 2-pumktform
[mm]y-4=\frac{4-4}{12-0}(x-12)\to y=4[/mm] .....
aufspalten kannst du "immer", also auch bei kreisen.
dazu mußt du 2. fälle unterscheiden:
1) liegt der punkt P außerhalb wie hier, bekommst du damit die polare.
2) liegt P auf der kurve, bekommst du damit direkt die tangente in P,
siehe dazu den beitrag von abakus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hi weduwe,
erstmal danke für Deine Mitarbeit an dem Problem, aber ich glaube Du hast die Aufgabe da nicht komplett erfasst. Es geht darum die Tangentengleichungen aufzustellen. Es gibt also genau zwei Tangenten. Daher brauchen wir zwei Schnittpunkte der Polaren bzw. der einzelnen Tangenten mit der Ellipse. Die Schnittpunkte der Polaren mit der Ellipse habe ich durch einsetzen der Polarengleichung, welche Du mir geliefert hast. Diese habe ich in die Ellipsengleichung eingesetzt und auch tatsächlich zwei Lösungen erhalten. Einmal den gleichen wie Du errechnet hast, nämlich genau 0 und noch den anderen. Diese Werte habe ich dann in die Ellipsengleichung eingesetzt, wo Du schon richtig erkannt hast, dass das ein Fehler, da die Ellipse für jeden x-Wert zwei y-Werte liefert und man gar nicht wissen kann, welcher der richtige ist. Deshalb setzt man diese x-Werte somit in die Gleichung der Polaren ein, da diese Gerade für jeden x-Wert genau ein y-Wert liefert, erhalten wir auf jeden Fall das richtige Ergebnis und nicht eine Auswahl aus zwei Möglichen. DAS habe ich verstanden. Aber das sagtest Du ja bereits selbst, und da sich das Aufstellen der zweiten Tangentengleichung genauso abspielt wie bei der ersten bleibt eigentlich nur noch eine Frage offen.
Wie bist Du auf y=4-12x gekommen und wieso sind [mm] x_{p} [/mm] und [mm] y_{p} [/mm] aus der Gleichung verschwunden ?
Das habe ich noch nicht verstanden !
Mubidoo
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Hallo Mubidoo,
> Wie bist Du auf y=4-12x gekommen und wieso sind [mm]x_{p}[/mm] und
> [mm]y_{p}[/mm] aus der Gleichung verschwunden ?
> Das habe ich noch nicht verstanden !
Da ist für [mm]\pmat{x_{p} \\ y_{p}} = \pmat{12 \\ 4 }[/mm] eingesetzt worden:
[mm]\bruch{x*x_{p}}{4}+\bruch{y*y_{p}}{16}=1 \ | \ *16[/mm]
[mm]\gdw 16*\bruch{x*x_{p}}{4}+16*\bruch{y*y_{p}}{16}=16[/mm]
[mm]\gdw 4*x*x_{p}+y*y_{p}=16[/mm]
Dann [mm]x_{p}=12[/mm] und [mm]y_{p}=4[/mm]:
[mm]\Rightarrow 4*x*12+y*4=16[/mm]
[mm]\gdw 48*x+4*y=4 \ | \ :4[/mm]
[mm]\gdw 12*x+y=4[/mm]
[mm]\gdw y=4-12*x[/mm]
>
>
> Mubidoo
Gruß
MathePower
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:28 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
hi mathepower,
danke für die Aufklärung. Jetzt ist alles klar geworden. Dir ist nur ein kleiner Tippfehler unterlaufen. Du hast vor der Division durch vier die rechte Seite schon durch 4 geteilt, obwohl da noch 16 hingehört, ansonsten alles nachvollziehbar, danke
Gruß
Mubidoo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 15.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Wie heißen die Tangenten von [mm]P_{0}(12/4)[/mm] aus an die Ellipse
> [mm]\bruch{x^{2}}{4}[/mm] + [mm]\bruch{y^{2}}{16}[/mm] = 1 ?
> Hallo,
>
> ich schreibe in 2 Wochen eine Mathe-Prüfung und habe
> folgende Aufgabestellung, wo ich nicht weiß wie man es
> lösen kann.
> Den Ansatz den ich hätte wäre einmal die allgmeine
> Tangentengleichung in der 2-Punkt-Form :
> [mm]\bruch{y-y_{0}}{x-x_{0}}[/mm] = f'(x)
>
> Aufgelöst nach x :
> [mm]x=\wurzel{4-\bruch{y²}{4}}[/mm]
>
> Aufgelöst nach y :
> [mm]y=\wurzel{16-4x²}[/mm]
>
> Aber wie komme ich jetzt auf die Tangentengleichungen ?
> Ich habe eine Aufgabe von der Sorte leider noch nie
> gelöst...
>
>
> Lieben Gruß
> Mubidoo
Hallo Mubidoo,
ich würde wahrscheinlichden folgenden Weg nutzen:
Alle durch den Punkt P(12|4) verlaufenden Geraden lassen sich durch [mm] m=\bruch{y-4}{x-12} [/mm] beschreiben.
Ds lässt sich nach y umstellen: y=m* ...
Diese Gerade hat mit der Ellipse (je nach gewähltem Anstieg m) keine, zwei oder eben genau einen gemeinsamen Punkt mit der Ellipse. Man kann also an Stelle von y den Term der rechten Seite in die Ellipsengleichung einsetzen. Das ergibt irgendeine quadratische Gleichung mit der Variablen x. Im Tangentenfall hat diese Gleichung genau eine Lösung. Dazu müssen wir nur die Diskriminante betrachten und m so wählen, dass diese Null wird. Das ist bei genau zwei Werten für m der Fall. So bekommst du beide Tangentenanstiege.
Das ist zwar nicht unbedingt das Eleganteste, aber (fehlerfreies Umformen quadratischer Gleichungen vorausgesetzt) ein relativ sicheres Verfahren.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 16.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hi abakus,
so oder so ähnlich habe ich es auch gemacht, nur dass ich zunächst die Ellipsengleichung aufgespaltet habe und eine Polarengleichung erstellt habe. Diese wurde eingesetzt in die Ellipsengleichung und ich bekam die x-Werte der beiden Berührpunkte [mm] x_{1}=\bruch{24}{37} [/mm] und [mm] x_{2}=0. [/mm] Die dazugehörigen y-Werte erhält man durch Einsetzen der x-Werte in die Polarengleichung : [mm] y_{1}=-\bruch{140}{37} [/mm] und [mm] y_{2}=4. [/mm] Dann brauchte ich nur noch mit der 2-Punkt-Form die Steigung der beiden Tangenten ermitteln.
Steigung der Tangente 1 : [mm] m_{1}=\bruch{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{140}{37}-4}{\bruch{24}{37}-12} [/mm] = [mm] \bruch{8}{13} [/mm] = 0,62
Steigung der Tangente 2 : [mm] m_{2} [/mm] = 0, weil [mm] y_{1}-y_{0} [/mm] = 4-4 = 0
Tangentengleichung 1: (vektoriell) [mm] T_{1}=\vektor{12 \\ 4} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 0,62}
[/mm]
Tangentengleichung 2: (vektoriell) [mm] T_{2}=\vektor{12 \\ 4} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] oder [mm] y_{2}=4 [/mm] (einfach!)
Um die Tangentengleichung 1 algebraischer Schreibweise bzw. in der Form [mm] y_{1}=m_{1}x+b_{1} [/mm] aufzuschreiben müsste ich noch den [mm] Y-Achsenabschnitt(b_{1}) [/mm] ermitteln, kann mir Jemand dabei helfen ?
Mubidoo
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Hallo Mubidoo,
> Tangentengleichung 1: (vektoriell) [mm]T_{1}=\vektor{12 \\ 4}[/mm] +
> s [mm]\vektor{1 \\ 0,62}[/mm]
[mm]T_{1}:\vektor{x \\ y}=\vektor{12 \\ 4} + s * \vektor{1 \\ \bruch{8}{13}}[/mm]
> Um die Tangentengleichung 1 algebraischer Schreibweise bzw.
> in der Form [mm]y_{1}=m_{1}x+b_{1}[/mm] aufzuschreiben müsste ich
> noch den [mm]Y-Achsenabschnitt(b_{1})[/mm] ermitteln, kann mir
> Jemand dabei helfen ?
Der y-Achsenabschnitt soll berechnet werden, das heisst x muss 0 sein.
Löse also [mm]0=12+s[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}
[/mm]
Setze dieses s in [mm]y=4+s*\bruch{8}{13}[/mm] ein.
Das ist dann der y-Achsenabschnitt.
Die algebraische Form kann genauso berechnet werden:
Löse hier [mm]x=12+s[/mm] nach s auf,
und setze dieses s in [mm]y=4+s*\bruch{8}{13}[/mm] ein.
>
>
> Mubidoo
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 16.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
hi mathepower,
> Löse also [mm]0=12+s[/mm]
[mm]-s=12[/mm]
[mm]s =-12[/mm]
> Setze dieses s in [mm]y=4+s*\bruch{8}{13}[/mm] ein.
[mm]y=4+(-12)* \bruch{8}{13}[/mm]
[mm]y=4-\bruch{96}{13}[/mm]
[mm]y=\bruch{52}{13}-\bruch{96}{13}[/mm]
[mm]y=-\bruch{44}{13}[/mm]
> Das ist dann der y-Achsenabschnitt.
Dann ist [mm] T_{1} [/mm] : [mm] \bruch{8}{13}x [/mm] - [mm] \bruch{44}{13} [/mm]
Ich geh mal davon aus, dass das stimmt.
(ansonsten natürlich melden  )
Mubidoo
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