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Forum "Schul-Analysis" - Tangente parallel zur Geraden
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Tangente parallel zur Geraden: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Di 09.08.2005
Autor: mareike-f

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,
ich hab jetzt nun seit gestern erst wieder Schule und hab schon gleich ne Frage.

Wir haben als Hausaufgabe folgende Aufgabe bekommen:

In welchen Punkten ist die Tangente an den Graphen der Funktion f parallel zu der Geraden
[mm]g: f(x)=\bruch{1}{2}x-4 [/mm]

Funktion
[mm]f(x)=x^3-x[/mm]


erste Frage: Ich weiss zwar was Punkte sind oder was parallel bedeutet, aber wie ist das gemeint in der Aufgabenstellung? Oder meinen die welche Ähnlichkeiten die beiden funktionen haben?

zweite Frage: Zur Lösung der Aufgabe, muss ich docherst die Tangente ausrechnen und wenn ich mich recht erinnere müsste das so sein:

[mm]f(x)=x^3-x[/mm]
[mm]f'(x)=3x^2-1[/mm]
[mm]f''(x)=6x[/mm]

y=mx+b
[mm]0=3x^2-1[/mm]
[mm]1=3x^2[/mm]
[mm]\bruch{1}{3}=x^2[/mm]
[mm]\wurzel{\bruch{1}{3}}=x[/mm]
y=0

[mm]m=\wurzel{\bruch{1}{3}}^3-\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
m=-0,385

[mm]0=-0,385*\wurzel{\bruch{1}{3}}+b[/mm]
[mm]0,385=\wurzel{\bruch{1}{3}}+b[/mm]
b=-0,192350269

Tangente:
[mm]y=-0,385x-0,19[/mm]

muss ich jetzt die Tangente mit der Geraden gleich setzen?
oder lieg bei allem total daneben?

Liebe Grüße, Mareike


        
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 09.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike,


zunächst einmal [willkommenmr] !!


> ich hab jetzt nun seit gestern erst wieder Schule und hab
> schon gleich ne Frage.

Dafür sind wir doch da ;-) ...


  
> In welchen Punkten ist die Tangente an den Graphen der
> Funktion f parallel zu der Geraden
> [mm]g: f(x)=\bruch{1}{2}x-4[/mm]
>  
> Funktion
> [mm]f(x)=x^3-x[/mm]
>  
>
> erste Frage: Ich weiss zwar was Punkte sind oder was
> parallel bedeutet, aber wie ist das gemeint in der
> Aufgabenstellung? Oder meinen die welche Ähnlichkeiten die
> beiden funktionen haben?

Wie Deiner ersten Frage bereits zu entnehmen ist, hast Du die Aufgabenstellung leider nicht ganz verstanden ...


Gehen wir mal schrittweise vor:


Was bedeutet "parallel" bei zwei Geraden?

Das heißt doch: beide Geraden haben dieselbe Steigung!

Welche Steigung [mm] $m_g$ [/mm] hat denn die gegebene Gerade $g(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x-4$ [/mm] ??

Und wie berechnet man die (Tangenten-)Steigung von Funktionsgraphen?
Richtig, mit der ersten Ableitung $f'(x)_$ .

Diese hast Du auch für unsere Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^3-x$ [/mm] richtig ermittelt mit $f'(x) \ = \ [mm] 3*x^2-1$ [/mm] [ok] !!


Nun können wir doch durch Gleichsetzen unsere Stellen (= x-Werte ermitteln), an denen die Tangentensteigung genauso groß ist wie die Geradensteigung [mm] $m_g$ [/mm] :

$f'(x) \ = \ [mm] 3*x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] m_g$ [/mm]

Diesen Ausdruck musst Du nun nach $x_$ auflösen/umstellen: [mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ ...$


Damit haben wir aber "erst" die gesuchten x-Werte [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] ermittelt. Da aber nach den Punkten gefragt ist, müssen wir noch etwas weiter rechnen.

Schließlich gehören in der Ebene zu Punkten immer zwei Koordinatenwerte: $P \ ( \ x \ | \ y \ )$.


Die entsprechenden y-Werte [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] erhalten wir durch Einsetzen der x-Werte in die (Ausgangs-)Funktionsvorschrift $f(x)_$ :

[mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] f\left(x_1\right) [/mm] \ = \ [mm] x_1^3-x_1 [/mm] \ = \ ...$

[mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] f\left(x_2\right) [/mm] \ = \ [mm] x_2^3-x_2 [/mm] \ = \ ...$


Kannst Du nun die Punkte berechnen? Wie lauten diese?


Hier mal eine kleine Skizze zur Kontrolle:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß
Loddar

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Di 09.08.2005
Autor: mareike-f

Hi Loddar,
danke für deine schnelle Antwort.

Aber ich glaube ich habe die Punkte trotzdem irgendwie Falsch berechnet.

Für die Punkte habe ich [mm]P_1 (\wurzel{\bruch{1}{2}}/-0,354)[/mm]
[mm]P_2 (-\wurzel{\bruch{1}{2}}/-0,354)[/mm]

die Steigung der Geraden müsste
[mm]m_g=\bruch{1}{2}[/mm]
sein.


x1 und x2 habe ich wie folgt ausgerechnet, ich glaube auch hier hab ich irgendwo einen Fehler gemacht, hab aber selbst keinen gefunden.
[mm]3*x^2-1=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]3*x^2=1\bruch{1}{2}[/mm] dann durch drei
[mm]x^2=\bruch{1}{2}[/mm] dann hab ich die Wurzel gezogen
[mm]x_1=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
wie man dann x2 ausrechnet war ich mir nicht mehr sicher, musste man da einfach ein minus vorsetzen oder musste ich alles mit der pq-Formel ausrechnen, aber da würde mir ja dann das q fehlen?

Grüß,
Mareike
Bezug
                        
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Sieht gut aus ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 09.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Das sieht doch schon mal sehr gut aus. Ein/zwei kleinere Fehler haben sich dennoch eingeschlichen ;-) ...


> Für die Punkte habe ich [mm]P_1 (\wurzel{\bruch{1}{2}}/-0,354)[/mm]

[ok] Stimmt! Zwei Anmerkungen ...

1. ist es geschickter, den Wurzelausdruck mit Bruch [mm] $\wurzel{\bruch{1}{2}}$ [/mm] rational zu machen (d.h. die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen):

[mm] $\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm]


Damit ergibt sich auch ...

2. den y-Wert (soweit möglich) auch genau angeben mit:

[mm] $y_1 [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ - 0,354$


  
> [mm]P_2 (-\wurzel{\bruch{1}{2}}/-0,354)[/mm]

[notok] Vorzeichenfehler! Es muss heißen:    [mm]P_2 \ \left( \ -\bruch{\wurzel{2}}{2} \ \left| \ \red{+}\bruch{\wurzel{2}}{4} \ \right)[/mm]

Siehe auch meine Skizze in der ersten Antwort!


Ansonsten gelten auch o.g. Anmerkungen!

Aber Du hast richtig gerechnet! [daumenhoch]
  

> die Steigung der Geraden müsste [mm]m_g=\bruch{1}{2}[/mm] sein.

[daumenhoch]



> x1 und x2 habe ich wie folgt ausgerechnet, ich glaube auch
> hier hab ich irgendwo einen Fehler gemacht, hab aber selbst
> keinen gefunden.
> [mm]3*x^2-1=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]3*x^2=1\bruch{1}{2}[/mm] dann durch drei
> [mm]x^2=\bruch{1}{2}[/mm] dann hab ich die Wurzel gezogen
> [mm]x_1=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]

[ok] Alles richtig!


> wie man dann x2 ausrechnet war ich mir nicht mehr sicher,
> musste man da einfach ein minus vorsetzen oder musste ich
> alles mit der pq-Formel ausrechnen, aber da würde mir ja
> dann das q fehlen?

Na, dann setz' doch einfach $q \ = \ 0$ in die MBp/q-Formel ein ;-) .


[aufgemerkt] Aber Du kannst Dir auch folgendes merken:

[mm] $x^2 [/mm] \ = \ a$   Nun auf beiden Seiten die Wurzel ziehen!

[mm] $\gdw$ [/mm]

[mm] $\wurzel{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{|}x\red{|} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[mm] $\red{\pm} [/mm] \ x \ = \ [mm] \wurzel{a}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]

$x \ = \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}$ [/mm]


Okay? [lichtaufgegangen] ?

Also nochmal: war doch alles prima!


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Di 09.08.2005
Autor: mareike-f

Super, danke.

Ich denke ich hab alles verstanden.
Bis auf etwas mit der pq-Formel
1. Weiß ich nicht was du mit a meinst. (am ende)

und 2. jedes mal wenn ich die pq Formel benutze bekomm ich 1 herraus:

q ist -1
und p ist 0
und wenn ich das einsetzte sieht das so aus:
[mm]x=\bruch{0}{2}+\wurzel{\bruch{0}{2}+1} [/mm]
oder hab ich hier p und q vertauscht?

Grüße, Mareike
Bezug
                                        
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Di 09.08.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Mareike,


>  1. Weiß ich nicht was du mit a meinst. (am ende)


Loddar wollte dir nur ein Beispiel geben, an dem Du sehen kannst, daß man für manche einfache quadratische Ausdrücke nicht gleich die p/q-Formel benutzen muß. Aber was genau ist dir dort nicht klar?


> und 2. jedes mal wenn ich die pq Formel benutze bekomm ich
> 1 herraus:
>  
> q ist -1
>  und p ist 0
>  und wenn ich das einsetzte sieht das so aus:
>  [mm]x=\bruch{0}{2}+\wurzel{\bruch{0}{2}+1}[/mm]
>  oder hab ich hier p und q vertauscht?


Also genau das ist das Problem. Bei solchen Ausdrücken verwirrt einen die p/q-Formel eher als das sie einem nützt. Da kann man direkt umformen:


[mm] $3x^2-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \gdw 3x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \gdw x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\sqrt{2}} \vee x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$ [/mm]


Und das hat er dann an diesem Beispiel mit a nochmal ausführlich gemacht. Und was die p/q-Formel angeht, deren Anwendung sehe hier dann so aus:


[m]\begin{gathered} 3x^2 - 1 = \frac{1} {2} \Leftrightarrow 3x^2 - \frac{3} {2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - \frac{1} {2} = x^2\,{\color{blue}\mathrel+0}*x}\,{\color{red}\mathrel- \frac{1} {2}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow x_{1;2} = - \frac{{\color{blue}0}} {2} \pm \sqrt {\left( {\frac{\blue{0}} {2}} \right)^2 - \left( \red{ - \frac{1} {2}} \right)} = \pm \sqrt {\frac{1} {2}} \hfill \\ \end{gathered}[/m]


Hast Du deinen Fehler gefunden?



Grüße
Karl




Bezug
                                        
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Do 11.08.2005
Autor: mareike-f

Danke euch beiden.

Grüße Mareike
Bezug
                                
Bezug
Tangente parallel zur Geraden: Reingefallen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 Di 09.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Da hast Du mich ja schön auf's Glatteis geführt und ich bin auch wunderbar drauf reingefallen [anon] ...


> Na, dann setz' doch einfach [mm]q \ = \ 0[/mm] in die MBp/q-Formel ein.

Wie Karl völlig richtig bemerkt hat, musst Du in unserem Falle natürlich [mm] $\red{p} [/mm] \ = \ 0$ in die Formel einsetzen sowie $q \ = \ - [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] !!


Mann-o-mann, Loddar! [bonk] Wer lesen kann, ... [kopfschuettel]


Gruß
Loddar

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