Tangente in unbekanntem Punkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maria85 |
Ich habe folgende Aufgabe bekommen: Für jedes t ist eine Funktion f gegeben durch $ [mm] f_t(x)=e^{2-x}+x-3t [/mm] $ x [mm] \in [/mm] R. Ihr Schaubild sei [mm] K_t.
[/mm]
Zuerst sollte ich die Extrempunkte (T(2|0)), Wendepunkte (nicht vorhanden) und Asymptoten (x-Achse waagerechte Asymptote) für [mm] K_1 [/mm] berechnen. Dann den Flächeninhalt von [mm] K_1 [/mm] und den Koordinatenachsen (2,39 FE).
Nun wurde mir die Frage gestellt: Die Tangente an [mm] K_1 [/mm] in [mm] P(u|f_1(u)) [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 2 schneidet die y- Achse in Q. Ein Rechteck wird begrenzt durch die Geraden x=-1, x=u, y=-3 und die Parallele zur x-Achse durch Q. Dieses Recheckt hat den Flächeninhalt A(u). Berechnen Sie A(u), A(0) und A(2). Wie groß wird A(u) höchstens?
Nun weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Mir ist bekannt, dass die erste Ableitung die Steigung der Tangenten ist. Wenn ich den Punkt P und die erste Ableitung in die allgemeine Gleichung y=m*x+c einsetze, komme ich auf die Gleichung: [mm] e^{2-u} [/mm] +u-3 = [mm] (-e^{2-u}+1) [/mm] *u+c
Wie rechne ich aber jetzt weiter? Und vor allem, wie kann ich dann auf den Flächeninhalt etc. kommen?
Ich wäre unendlich dankbar, wenn mir irgendjemand diese Frage beantworten kann... oder mir Lösungshinweise geben kann!
Viele Dank im Voraus, Maria
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 23.12.2006 | | Autor: | mischael |
Hallo,
ich habe zu der selben Aufgabe eine weitere Frage:
Zwischen jeder Kurve Kt und ihrer Asymptote liegt eine Fläche, die nach links von der y-Achse begrenzt wird und sich nach rechts ins Unendliche erstreckt.
Weisen Sie nach, dass diese Fläche für jedes t einen endlichen Inhalt I(t) besitzt.
Welche Beziehung besteht zwischen t1 und t2, wenn I(t1)= e*I(t2) ist?
Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte:)
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Hallo mischael,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mach Dir am besten mal eine Skizze zum Veranschaulichen
(diese Skizze ist für den Parameterwert $t \ = \ 1$):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen wird ermittelt als das entsprechende Integral der Differenz dieser beiden Funktionen.
In unserem Falle sind das die gegebene Funktionenschar [mm] $f_t(x)$ [/mm] sowie die zugehörige Asymptote:
$I(t) \ = \ [mm] \integral_{0}^{\infty}{f_t(x)-a_t(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{2*t-x}+x-3*t-(x-3*t) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{2*t-x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{e^{2*t-x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Was erhältst Du hieraus?
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Sa 23.12.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo mischael!
> Welche Beziehung besteht zwischen t1 und t2, wenn I(t1)=e*I(t2) ist?
Hier dann das Ergebnis von oben einsetzen für [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$ [/mm] und anschließend umformen.
Ich habe erhalten (bitte nachrechnen, da auch zu Weihnachten ohne Gewähr  ): [mm] $t_1-t_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 24.12.2006 | | Autor: | mischael |
Vielen Dank du hast mir wirklich sehr geholfen!
Habe für I = $ [mm] e^{2t} [/mm] $ raus, also ergibt das $ [mm] t_1-t_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
Jetzt (hoffe ich) habe ich die gesamte Aufgabe verstanden:)
Ein Anliegen habe ich allerdings noch:
Fallen die Fragen ein, die mir ein Lehrer zur gesamten Aufgabe (auch zu den Teilaufgaben von Maria) stellen könnte? Evtl auch über die Aufgabe hinaus, aber eben zu diesem Thema?
Du dürftest mit deinem Wissen wohl eher den Lehrerblick haben;)
Gruß mischael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 24.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein paar Fragen als nettes Weihnachtsgeschenk:
1. Warum findet man extrema, mit f'=0
1a)Wenn f'=0 ist das immer ein Wendepkt? Wenn nicht, was dann?
2. Warum Wendepunkte für f''=0
3. Wieso kann ein Flächeninhalt, obwohl er bis unendlich reicht endlich sein?
4. Gib die allgemeine Gl. der Tangente in einem beliebigen Pkt P=(x,f(x))
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Sa 13.01.2007 | | Autor: | mischael |
Hallo,
mit welchem Programm kann man denn am besten Funktionen zeichnen?
Diese Frage kann ich leider nicht beantworten:
> 3. Wieso kann ein Flächeninhalt, obwohl er bis unendlich
> reicht endlich sein?
Kann mir da jemand helfen?
Noch eine Frage: Wie löse ich e^(2-x) + x - 3 = 0 auf? Ich weiß, dass für x=2 rauskommen muss, aber auf die Rechnung komm ich nicht.
Gruß mischael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Walde |
Hi Maria,
du warst schon auf dem richtigen Weg. Durch die Gleichung, die du erhalten hast: [mm] e^{2-u}+u-3=(-e^{2-u})u+c[/mm] kannst du den Achsenabschnitt [mm] c = e^{2-u}(1+u)-3[/mm], der Tangentengleichung ermitteln.
Was machst du jetzt damit? Folgendes: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist natürlich Breite mal Höhe.
Die Breite ergibt sich aus dem Abstand (der x-Koodinaten) der Begrenzungen, die durch die Senkrechten x=-1 und x=u entstehen und beträgt u-(-1)=u+1.
Die Höhe ergibt sich aus dem Abstand (diesmal der y-Koordinaten) der Begrenzungen, die durch die Gerade y=-3 und durch die Gerade, die durch Q geht und parallel zur x-Achse (Steigung 0) verläuft, entsteht.
Q war der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse (der sog. Achsenabschnitt), den du ja oben schon ausgerechnet hattest. Die Länge beträgt also : [mm] c-(-3)=e^{2-u}(1+u)[/mm]
Der Flächeninhalt ist also [mm]A(u)=(u+1)(e^{2-u}(1+u))=2ue^{2-u}+u^2e^{2-u}+e^{2-u} [/mm].
Die Frage, wann A(u) maximal wird, beantwortest du, indem du Extrempunkte von A(u) berechnest. Also [mm]A'(u)=0[/mm] und nach u auflösen.
[mm] A'(u)=2e^{2-u}-2ue^{2-u}+2ue^{2-u}-u^2e^{2-u}-e^{2-u}=e^{2-u}-u^2e^{2-u}=e^{2-u}(1-u^2)[/mm]
Daraus ergibt sich u=1 als Extremwert (und auch als Hochpunkt, da bei A'(1) ein Vorzeichenwechsel von + nach - vorliegt.)
Ich hoffe, dass hat dir geholfen und ich hab mich nicht vertippt.
Gruß Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 21.04.2005 | | Autor: | Maria85 |
Vielen Dank, Walde!!! Du hast mir sehr geholfen, jetzt habe ich die Frage erst richtig verstanden!
Die letzte Aufgabe zu dieser Funktion lautet:
Berechnen Sie für allgemeines t die Koordinaten des Tiefpunktes [mm] T_t [/mm] von [mm] K_t. [/mm] Zeigen Sie, dass alle Punkte [mm] T_t [/mm] von der Geraden y=-0,5x des gleichen Abstand haben. Für welche Werte von t liegt [mm] T_t [/mm] auf einer der Koordinatenachsen?
Ich habe den die Koordinaten des Tiefpunktes berechnet: T(2t|-t+1).
Für t=0 liegt t [mm] T_t [/mm] auf der y- Achse, für t=1 auf der x- Achse.
Nun meine Frage: Wie zeige ich, dass alle Punkte [mm] T_t [/mm] von der Geraden den gleichen Abstand haben? wenn ich den Punkt in die allgemeine Gleichung y=m*x+c einsetze, mit der Steigung 0, weil Parallele zur x-Achse, bekomme ich c=1. Ist das schon der Beweis? Bedeutet das, dass jeder Punkt [mm] T_t [/mm] von der Geraden den Abstand 1 LE hat?
LG, Maria
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Hallo Maria!
Das verwirrt mich jetzt etwas!
Wir reden doch immer noch von der Funktion [mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{2-x} [/mm] + x - 3t$ , oder?
Hier erhalte ich als Tiefpunkte [mm] $T_t [/mm] \ [mm] \left( \ \red{2} \ \left| \ 3-3t \ \right)$, d.h. die x-Koordinate ist immer dieselbe und daher liegen alle Tiefpunkte $T_t$ auf eine senkrechten Gerade $x \ = \ 2$.
Die Punkte auf dieser Geraden liegen ja nun sicher [b]nicht[/b] alle im selben Abstand zur Geraden $y \ = \ -0,5*x$
Ist hier die Aufgabenstellung richtig angegeben? *grübel*
Bitte sieh' doch nochmal nach ...
Grüße vom
Roadrunner
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Maria85 |
Hey!
Verdammt, ich habe die Funktion falsch angegeben, die lautet: f(x)= e^(2t-x)+x-3t. Vorher spielte das t ja eine weniger wichtige Rolle, da man t=1 setzen musste.
Das ist wohl der Grund, warum wir auf verschiedene Tiefpunkte kommen!
Tut mir leid!
Maria
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Hallo Maria!
Da klärt dann natürlich einiges ...
> Berechnen Sie für allgemeines t die Koordinaten des
> Tiefpunktes [mm]T_t[/mm] von [mm]K_t.[/mm] Zeigen Sie, dass alle Punkte [mm]T_t[/mm]
> von der Geraden y=-0,5x des gleichen Abstand haben. Für
> welche Werte von t liegt [mm]T_t[/mm] auf einer der
> Koordinatenachsen?
>
> Ich habe den die Koordinaten des Tiefpunktes berechnet:
> T(2t|-t+1).
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jetzt erhalte ich das auch!
> Für t=0 liegt t [mm]T_t[/mm] auf der y- Achse, für t=1 auf der x-
> Achse.
>
> Nun meine Frage: Wie zeige ich, dass alle Punkte [mm]T_t[/mm] von
> der Geraden den gleichen Abstand haben? wenn ich den Punkt
> in die allgemeine Gleichung y=m*x+c einsetze, mit der
> Steigung 0, weil Parallele zur x-Achse, bekomme ich c=1.
> Ist das schon der Beweis? Bedeutet das, dass jeder Punkt
> [mm]T_t[/mm] von der Geraden den Abstand 1 LE hat?
Nein, wir ermitteln einfach die Ortskurve der Tiefpunkte [mm] $T_t$ [/mm] .
Wie machen wir das?
Wir haben doch ermittelt (siehe Berechnung für Tiefpunkt):
[mm] $x_T [/mm] \ = \ 2*t$ [mm] $\gdw$ [/mm] $t \ = \ [mm] 0,5*x_T$
[/mm]
Dies setzen wir in den y-Wert unserer Tiefpunkte ein:
[mm] $y_T [/mm] \ = \ 1 - t \ = \ 1 - [mm] 0,5*x_T$
[/mm]
Dieses ist nun die Ortskurve der Tiefpunkte. D.h. alle Tiefpunkte unserer Kurvenschar liegen auf dieser "Kurve", in unserem Falle eine Gerade.
Diese Gerade hat ja die Steigung $m \ = \ -0,5$, genauso wie die vorgegebene Gerade $y \ = \ -0,5*x$.
Diese beiden Geraden sind also parallel und haben damit überall denselben Abstand. Fertig!
Noch Fragen?
Grüße vom
Roadrunner
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
... aber wir haben hier ja genug Lehrer, die da bestimmt etwas kreativer sind als ich. ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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