Tangente/ebene/total.Diff'tial < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg: [mm]f(x,y)=3x^2+xy-y^2-4x-5y+6[/mm]
[mm]P_0 = (2,3,-8)[/mm]
Ges:
a) Anstieg der Tangente an f(x,y) in [mm]P_0[/mm], die parallel zur x-z-Ebene ist.
b) Anstiegswinkel der Tangente in [mm]P_0[/mm], die parallel zur y-z-Ebene ist.
c) Gleichung der Tangente aus b)
d) Gleichung der Tangentialebene an f(x,y) in [mm]P_0[/mm]
e) Änderung der Funktionswerte, wenn x=2 und y=3 um [mm]\Delta x[/mm] und [mm]\Delta y[/mm] verändert werden.
f) Schätzung der Funktionswerteänderung, wenn x=2 um 10% verringert und y=3 um 5% erhöht wird.
g) Vergleiche f) mit der exakten Änderung. |
moin,
a) [mm]f_x(x,y) = 6x+y-4[/mm]
[mm]f_x(2,3)=11[/mm]
b) [mm]f_y(x,y) = x-2y-5[/mm]
[mm]f_y(2,3) = -9[/mm]
Winkel, war doch irgendwas mit Tangens?
Aber keine Ahnung, ob jetzt tan oder arctan, und wie ich da den TR einstellen muss (DEG, RAD, GRA) ?
c) [mm]3 = -9 * 2 +t[/mm]
[mm]t=21[/mm]
[mm]y=-9*x+21[/mm]
d) [mm]z-z_0 = f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)[/mm]
[mm]z+8=11*(x-2)-9*(y-3)[/mm]
[mm]z = 11x -9y -3[/mm]
e) hm, also totale Differential setzt sich ja aus [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] zusammen, und dazu jeweils die Änderung, hier ja allgemein, müsste dann doch sein:
[mm]d f = 11*\Delta x - 9*\Delta y[/mm] ?
f) [mm]x_1=2[/mm]; [mm]y_1=3[/mm]
[mm]\Delta x = -0,2[/mm]; [mm]\Delta y = 0,15[/mm]
[mm]d f = 11*-0,2 + (-9)*0,15 = -3,55[/mm]
g) [mm]x_2=1,8[/mm]; [mm]y_2=3,15[/mm]
[mm]z_2=f(x_2,y_2)=-11,4825[/mm]
[mm]z_2 - z = -11,4825 - (-8) = -3,4825[/mm]
Schätzung: -3,55 <-> Exakt: -3,4825
---
Ok, also sorry, dass das so lang ist, aber steht ja da "inklusive aller Teilaufgaben" 
An sich nur Frage eben zu b) und e), aber wäre natürlich cool, wenn Ihr die Ergebnisse bei den anderen Teilaufgaben bestätigen könntet (oder berichtigen ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") ).
Danke
Frage in keinem anderen Internetforum gestellt!
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Hallo nitramGuk,
> Geg: [mm]f(x,y)=3x^2+xy-y^2-4x-5y+6[/mm]
> [mm]P_0 = (2,3,-8)[/mm]
> Ges:
> a) Anstieg der Tangente an f(x,y) in [mm]P_0[/mm], die parallel zur
> x-z-Ebene ist.
> b) Anstiegswinkel der Tangente in [mm]P_0[/mm], die parallel zur
> y-z-Ebene ist.
> c) Gleichung der Tangente aus b)
> d) Gleichung der Tangentialebene an f(x,y) in [mm]P_0[/mm]
> e) Änderung der Funktionswerte, wenn x=2 und y=3 um [mm]\Delta x[/mm]
> und [mm]\Delta y[/mm] verändert werden.
> f) Schätzung der Funktionswerteänderung, wenn x=2 um 10%
> verringert und y=3 um 5% erhöht wird.
> g) Vergleiche f) mit der exakten Änderung.
> moin,
>
> a) [mm]f_x(x,y) = 6x+y-4[/mm]
> [mm]f_x(2,3)=11[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]f_y(x,y) = x-2y-5[/mm]
> [mm]f_y(2,3) = -9[/mm]
> Winkel, war doch
> irgendwas mit Tangens?
> Aber keine Ahnung, ob jetzt tan oder arctan, und wie ich
> da den TR einstellen muss (DEG, RAD, GRA) ?
Es ist hier der arctan zu nehmen, und der TR auf RAD einzustellen.
>
> c) [mm]3 = -9 * 2 +t[/mm]
> [mm]t=21[/mm]
> [mm]y=-9*x+21[/mm]
Die Tangente soll doch parallel zur y-z-Ebene sein, demnach x konstant.
>
> d) [mm]z-z_0 = f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)[/mm]
>
> [mm]z+8=11*(x-2)-9*(y-3)[/mm]
> [mm]z = 11x -9y -3[/mm]
>
> e) hm, also totale Differential setzt sich ja aus [mm]f_x[/mm] und
> [mm]f_y[/mm] zusammen, und dazu jeweils die Änderung, hier ja
> allgemein, müsste dann doch sein:
> [mm]d f = 11*\Delta x - 9*\Delta y[/mm] ?
>
> f) [mm]x_1=2[/mm]; [mm]y_1=3[/mm]
> [mm]\Delta x = -0,2[/mm]; [mm]\Delta y = 0,15[/mm]
> [mm]d f = 11*-0,2 + (-9)*0,15 = -3,55[/mm]
>
> g) [mm]x_2=1,8[/mm]; [mm]y_2=3,15[/mm]
> [mm]z_2=f(x_2,y_2)=-11,4825[/mm]
> [mm]z_2 - z = -11,4825 - (-8) = -3,4825[/mm]
>
> Schätzung: -3,55 <-> Exakt: -3,4825
>
> ---
>
> Ok, also sorry, dass das so lang ist, aber steht ja da
> "inklusive aller Teilaufgaben"
>
> An sich nur Frage eben zu b) und e), aber wäre natürlich
> cool, wenn Ihr die Ergebnisse bei den anderen Teilaufgaben
> bestätigen könntet (oder berichtien ).
>
> Danke
>
> Frage in keinem anderen Internetforum gestellt!
Gruß
MathePower
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> Hallo nitramGuk,
>
> > Geg: [mm]f(x,y)=3x^2+xy-y^2-4x-5y+6[/mm]
> > [mm]P_0 = (2,3,-8)[/mm]
> > Ges:
> > b) Anstiegswinkel der Tangente in [mm]P_0[/mm], die parallel zur
> > y-z-Ebene ist.
> > c) Gleichung der Tangente aus b)
>
>
> >
> > b) [mm]f_y(x,y) = x-2y-5[/mm]
> > [mm]f_y(2,3) = -9[/mm]
>
>
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>
> > Winkel, war doch
> > irgendwas mit Tangens?
> > Aber keine Ahnung, ob jetzt tan oder arctan, und wie
> ich
> > da den TR einstellen muss (DEG, RAD, GRA) ?
>
>
> Es ist hier der arctan zu nehmen, und der TR auf RAD
> einzustellen.
Danke erstmal soweit, nur kommt da was seltsames raus:
arctan(-9) [RAD] = -1,46
Das wird doch nicht der Winkel in Grad (°) sein?
Hab mal ausprobiert, und mit
arctan(-9) [DEG] = -83,66 kommt das schon eher hin (also natürlich 83,66° )
Oder vielleicht bist du gar nicht von Grad ausgegangen, ich vermute aber, dass ° gefragt sind?
>
>
> >
> > c) [mm]3 = -9 * 2 +t[/mm]
> > [mm]t=21[/mm]
> > [mm]y=-9*x+21[/mm]
>
>
> Die Tangente soll doch parallel zur y-z-Ebene sein,
> demnach x konstant.
>
>
OK, das verwirrt mich jetzt
Mir ist zwar jetzt klar, dass ja da unmöglich ein x drin vorkommen kann, aber ich kann ja nicht einfach für das x 2 einsetzen ([mm]x_0[/mm]), dann würde ja nur noch:
[mm]y = 3[/mm] dastehen...
Also vermute ich, dass ich entweder:
1) [mm]y = -9 * z +21[/mm]
oder:
2) [mm]z = -9*y +21[/mm]
nehmen muss.
Da ja die Tangente den Punkt [mm]P_0[/mm] enthalten muss, hab ich mal beide Möglichkeiten getestet:
1) [mm] 3 = -9 * -8 + 21 [/mm]
[mm] 3 = 93 [/mm] ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
2) [mm] -8 = -9*3 +21[/mm]
[mm] -8 = -27+21 = -8[/mm] ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Mein "Gedankengang" so richtig?
>
> Gruß
> MathePower
Gruß & Danke
nitramGuk
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Hallo nitramGuk,
> > Hallo nitramGuk,
> >
> > > Geg: [mm]f(x,y)=3x^2+xy-y^2-4x-5y+6[/mm]
> > > [mm]P_0 = (2,3,-8)[/mm]
> > > Ges:
>
> > > b) Anstiegswinkel der Tangente in [mm]P_0[/mm], die parallel zur
> > > y-z-Ebene ist.
> > > c) Gleichung der Tangente aus b)
>
> >
> >
> > >
> > > b) [mm]f_y(x,y) = x-2y-5[/mm]
> > > [mm]f_y(2,3) = -9[/mm]
> >
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> >
> >
> >
> > > Winkel, war doch
> > > irgendwas mit Tangens?
> > > Aber keine Ahnung, ob jetzt tan oder arctan, und wie
> > ich
> > > da den TR einstellen muss (DEG, RAD, GRA) ?
> >
> >
> > Es ist hier der arctan zu nehmen, und der TR auf RAD
> > einzustellen.
>
> Danke erstmal soweit, nur kommt da was seltsames raus:
>
> arctan(-9) [RAD] = -1,46
> Das wird doch nicht der Winkel in Grad (°) sein?
>
> Hab mal ausprobiert, und mit
> arctan(-9) [DEG] = -83,66 kommt das schon eher hin (also
> natürlich 83,66° )
>
> Oder vielleicht bist du gar nicht von Grad ausgegangen, ich
> vermute aber, dass ° gefragt sind?
Ich bin von Radiant ausgegangen. Natürlich bekommt man dann den Winkel in Radiant heraus, den man dann in Grad umrechnen muß. Dies umgeht man wahrscheinlich damit, dass man den TR auf den Modus DEG einstellt.
>
> >
> >
> > >
> > > c) [mm]3 = -9 * 2 +t[/mm]
> > > [mm]t=21[/mm]
> > > [mm]y=-9*x+21[/mm]
> >
> >
> > Die Tangente soll doch parallel zur y-z-Ebene sein,
> > demnach x konstant.
> >
> >
>
> OK, das verwirrt mich jetzt
> Mir ist zwar jetzt klar, dass ja da unmöglich ein x drin
> vorkommen kann, aber ich kann ja nicht einfach für das x 2
> einsetzen ([mm]x_0[/mm]), dann würde ja nur noch:
> [mm]y = 3[/mm] dastehen...
>
> Also vermute ich, dass ich entweder:
> 1) [mm]y = -9 * z +21[/mm]
> oder:
> 2) [mm]z = -9*y +21[/mm]
> nehmen muss.
>
> Da ja die Tangente den Punkt [mm]P_0[/mm] enthalten muss, hab ich
> mal beide Möglichkeiten getestet:
>
> 1) [mm]3 = -9 * -8 + 21[/mm]
> [mm]3 = 93[/mm]
>
> 2) [mm]-8 = -9*3 +21[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]-8=-9*3+\red{19}[/mm]
> [mm]-8 = -27+21 = -8[/mm]
>
> Mein "Gedankengang" so richtig?
Wenn die 21 als eine 19 anzusehen ist, dann ist Dein Gedankengang richtig.
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Gruß & Danke
> nitramGuk
>
Gruß
MathePower
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