Tangente an Schnittkurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 19.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Gegeben seien die beiden Flächen [mm] F_1: [/mm] z = [mm] x^2 -y^2 [/mm] und [mm] F_2: [/mm] xyz + 30 = 0
berechnen Sie die Gleichung der Tangente zur Schnittkurve dieser beiden Flächen im Punkt (-3,2,5)
Also ich hatte mal vor die Schnittkurve zu bestimmen, Setze [mm] F_1 [/mm] in [mm] F_2 [/mm] ein
xy( [mm] x^2 -y^2) [/mm] + 30 = 0
[mm] x^3 [/mm] y - [mm] xy^3 [/mm] + 30 = 0
Sieht ja nicht gerade "schön" aus.
Nun bestimme ich mal den Gradient, welcher rechtwinklig auf der gesuchen Tangente steht
Gradient f(x,y) = [mm] \vektor{3x^2y -y^3 \\ x^3 -3xy^2} [/mm] =
Nun irgendwas stimmt da nicht, denn meine Schnittkurve hat ja nur die Koordinaten x,y, jedoch wird der Schnittpunkt mit x,y,z angegeben. Komme deshalb nicht weiter...
P. S. Eigentlich müsste ich doch gar nicht den Weg über den Gradient gehen, kann ja die Schnittkurve ableiten und erhalte die entsprechende Tangente
also: [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] = - [mm] \bruch{F_y}{Fx} [/mm] = [mm] \bruch{x^3-3xy^2}{3x^2y -y^3} [/mm] = [mm] \bruch{x^3-3xy^2}{3x^2y -y^3} [/mm] = [mm] \bruch{9}{46}
[/mm]
Nun die Tangente:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] t*\vektor{46 \\9 \\ 0}
[/mm]
Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 19.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Da bin ich aber anders auf der scheifen Bahn...
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Hallo!
> Also ich hatte mal vor die Schnittkurve zu bestimmen, Setze
> [mm]F_1[/mm] in [mm]F_2[/mm] ein
> xy( [mm]x^2 -y^2)[/mm] + 30 = 0
> [mm]x^3[/mm] y - [mm]xy^3[/mm] + 30 = 0
> Sieht ja nicht gerade "schön" aus.
nun, das ist ja auch keine Schnittkurve, weil da wie du erkannt hast, das z fehlt.
Ich hätte dir zunächst geraten, diese Schnittkurve abhängig von einem Parameter t zu berechnen, und dann die Tangente als Ableitung nach t zu erhalten. Aber das wird sehr schnell sehr kompliziert.
Ich würde es so machen: Schreibe auch die eine Funktion in der Form z=...
Nun für jede Fläche getrennt:
Wenn du das nach x ableitest, bekommst du raus, wie stark sich z ändern, wenn du um 1 in x-Richtung gehst. Gleiches gilt in y-Richtung.
Die beiden Ergebnisse kannst du als Richtungsvektoren einer Tangentialebene auffassen. Zusammen mit dem Aufpunktvektor gegeben durch den Punkt bekommst du die Tangentialebene in dem Punkt.
Machst du das für beide Flächen, hast du zwei Ebenen, deren SchnittGRADE einfach zu berechnen ist, und welche die gesuchte Tangente darstellt.
Wenn dir das mit den Ebenen etwas kompliziert ist:
Betrachte das einfachere Beispiel [mm] y=x^2 [/mm] in 2D. Das ist die Normalparabel. Wie kannst du nun eine vektorielle Darstellung der Tangente bei x=2 angeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Wieso sollte es keine Kurve mehr sein?
f(x) = [mm] 2x^2 [/mm] + 3 oder sowas ist ja auch eine Kurve...
Also ich folge mal wie der Knecht...
[mm] F_1: [/mm] z = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2
[/mm]
[mm] F_2: [/mm] z = - [mm] \bruch{30}{xy}
[/mm]
Was soll ich jetzt [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] rechnen?
Ach , das klingt mehr nach einem gebastel als Methematik
Nein mache das glaub doch anders
nämlich mit Gradient ist mir sympathischer...
[mm] F_1: [/mm] 0 = [mm] x^2 -y^2 [/mm] -z
Gradient (x,y,z) = [mm] \vektor{2x \\ -2y \\ -1}
[/mm]
[mm] F_2: [/mm] xyz + 40 = 0
Gradient (x,y,z) = [mm] \vektor{yz \\ xz \\xy}
[/mm]
Schöner Zeitvertreib
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Wieso sollte es keine Kurve mehr sein?
>
> f(x) = [mm]2x^2[/mm] + 3 oder sowas ist ja auch eine Kurve...
>
> Also ich folge mal wie der Knecht...
>
> [mm]F_1:[/mm] z = [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm]
> [mm]F_2:[/mm] z = - [mm]\bruch{30}{xy}[/mm]
>
> Was soll ich jetzt [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] und [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm]
> rechnen?
> Ach , das klingt mehr nach einem gebastel als Methematik
>
> Nein mache das glaub doch anders
>
> nämlich mit Gradient ist mir sympathischer...
>
> [mm]F_1:[/mm] 0 = [mm]x^2 -y^2[/mm] -z
>
> Gradient (x,y,z) = [mm]\vektor{2x \\ -2y \\ -1}[/mm]
>
> [mm]F_2:[/mm] xyz + 40 = 0
> Gradient (x,y,z) = [mm]\vektor{yz \\ xz \\xy}[/mm]
>
>
> Schöner Zeitvertreib
Aus dem Gleichungssystem
[mm]F_1:0 = x^2 -y^2 -z[/mm]
[mm]F_2: xyz + 30 = 0[/mm]
folgen z.B, y(x) und z(x), wobei die Kenntnis der
Funktionen y(x) und z(x) nicht notwendig ist.
Die Schnittkurve ergibt sich demnach zu:
[mm]\pmat{x \\ y\left(x\right) \\ z\left(x\right)}[/mm]
Um jetzt die Ableitungswerte für y(x) und z(x) herauszubekommen,
differenzierst Du die Gleichungen
[mm]0 = x^2 -y\left(x\right)^2 -z\left(x\right)[/mm]
[mm]x*y\left(x\right)*z\left(x\right) + 30 = 0[/mm]
nach x.
Dann ergibt sich Tangente zu:
[mm]t\left(u\right)=\pmat{x \\ y\left(x\right) \\ z\left(x\right)}+\left(u-x\right)*\pmat{1 \\ y'\left(x \right) \\ z'\left(x\right)}[/mm]
Das ist eine Möglichkeit an die Tangentengleichung zu kommen.
Die andere führt, wie schon erwähnt, über die Parameterdarstellung
der Schnittkurve.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe mal versucht deine Ausführungen umzusetzen
Fläche 1: z = [mm] x^2 -y^2 [/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x
[mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] = -2y
Das heisst ich erhalte für die Fläche 1 eine Tangentialebene von:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] u*\vektor{1 \\0 \\ 2} [/mm] + [mm] v*\vektor{0 \\ 1 \\ -2} [/mm]
Fläche 2: z =- [mm] \bruch{30}{xy}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{30}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] =- [mm] \bruch{30}{x}
[/mm]
Das heisst ich erhalte für die Fläche 2 eine Tangentialebene von:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] u*\vektor{0 \\1 \\ -30} [/mm] + [mm] v*\vektor{1 \\ 0 \\ -30} [/mm]
-3 + u = -3 + v
2 + v = 2 + u
5 + 2u -2v = 5 -30u -30v
Das ist ja überbestimmt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 23.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> -3 + u = -3 + v
> 2 + v = 2 + u
> 5 + 2u -2v = 5 -30u -30v
>
> Das ist ja überbestimmt...
Nein, schau dir mal die ersten beiden Gleichungen scharf an, und vereinfache diese.
Danach löse das LGS
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Die ersten beiden sagen das gleiche aus..
u = v
In der dritten ersetze ich v durch u
5 + 2u -2u = 5 -30u -30u
Ja aber das geht ja nicht...
dennd ies würde heissen u = v = 0
keine Ahnung was das Problem ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 23.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
>
> Die ersten beiden sagen das gleiche aus..
>
> u = v
Richtig
>
> In der dritten ersetze ich v durch u
Acuh okay
>
>
> 5 + 2u -2u = 5 -30u -30u
>
> Ja aber das geht ja nicht...
Doch, 5=5 oder 0=0 ist eine völlig vernünftige und legitime Aussage
> dennd ies würde heissen u = v = 0
Nein, der Schluss passt so nicht.
Aus [mm] \vmat{u=v\\0=0} [/mm] folgt....
>
> keine Ahnung was das Problem ist
Deine Folgerung aus dem LGS ist falsch.
Marius
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> Gegeben seien die beiden Flächen [mm]F_1:[/mm] z = [mm]x^2 -y^2[/mm] und
> [mm]F_2:[/mm] xyz + 30 = 0
> berechnen Sie die Gleichung der Tangente zur Schnittkurve
> dieser beiden Flächen im Punkt (-3,2,5)
> Nun bestimme ich mal den Gradient, welcher rechtwinklig auf
> der gesuchen Tangente steht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hi Kuriger,
einen "Gradient" (-envektor), der rechtwinklig auf der gesuchten
Tangente steht und deren Richtung bestimmt, gibt es gar nicht.
Sehr wohl haben aber die beiden Flächen [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] in ihrem
gemeinsamen Punkt P(-3,2,5) je einen Normalenvektor [mm] \vec{n}_1 [/mm] bzw. [mm] \vec{n}_2
[/mm]
(diese Normalenvektoren kann man als Gradientenvektoren
der Funktionen [mm] f_1:x\mapsto x^2-y^2-z [/mm] bzw. $\ [mm] f_2:x\mapsto [/mm] x*y*z+30$ im Punkt P
betrachten)
Der gesuchte Richtungsvektor der Kurventangente in P muss
zu diesen beiden Normalenvektoren senkrecht stehen.
Stell dir dies ebenfalls zuerst für den einfachen Fall vor,
wo [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] Ebenen sind !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al-Chwarizmi
Da wir unter anderem das Thema Gradienten haben, denke ich schon, dass wohl der Lehrer darauf abgezielt hat, deshalb versuchte ich es auch mit Gradienten zu lösen
[mm] F_1: x^2 -y^2 [/mm] -z = 0
Gradient [mm] f_1(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{2x\\ -2y \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-6\\ -4 \\ -1}
[/mm]
[mm] n_1 [/mm] = k* [mm] \vektor{-6\\ -4 \\ -1}
[/mm]
[mm] F_2: [/mm] xyz + 30
Gradient [mm] f_2(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{yz\\ xz \\ xy} [/mm] = [mm] \vektor{10\\ -15 \\ -6}
[/mm]
[mm] n_2 [/mm] = u* [mm] \vektor{10\\ -15 \\ -6}
[/mm]
Ich denke mal dies kann ich mittels Vektorprodukt erreichen, dass die Tangente rechtwinklig zu [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] steht?
k* [mm] \vektor{-6\\ -4 \\ -1} [/mm] x u* [mm] \vektor{10\\ -15 \\ -6}
[/mm]
Oder das u und k kann ich mal vernachlässigen?
[mm] \vektor{-6\\ -4 \\ -1} [/mm] x [mm] \vektor{10\\ -15 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{24-15\\ -10 -36 \\ 90 + 40} [/mm] = [mm] \vektor{9\\ -46 \\ 130}
[/mm]
Also haben wir da eine Tangente:
t: [mm] \vektor{-3\\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] k*\vektor{9\\ -46 \\ 130}
[/mm]
Gruss Kuriger
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genau so dachte ich mir das !
... und jetzt mach mal Pause (andere feiern schon längst
"Wochenende" !) 
LG Al
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