Tangente am Kreis < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Do 16.11.2006 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | Gegeben ist die Gleichung eines Kreises K durch (x-3)2+(y-2)2=9
Für welche Werte von b ist die Gerade t mit der Gleichung t:y=2x+b Tangente an dem Kreis K? |
Hallo!
Das ist eine Teilaufgabe aus meiner letzten Klausur, von der ich jetzt die Berichtigung machen soll. Ich hab es wirklich schon lange versucht, aber ich komm alleine auf keinen richtigen Ansatz.
Gibt es nicht zwei Tangenten mit einer Steigung von 2, die den Kreis berühren? Wieso ist in der Aufgabenstellung nur von einer die Rede? Ich hab versucht, die zwei Punkte auszurechnen, an denen die zwei parallelen Tangenten den Kreis berühren. Dafür hab ich dann einfach x und y aus der Geradengleichung in die Kreisgleichung eingesetzt.
Also:
( (y-b/2) -3 )2+(y-2)2=9
Da bekomme ich aber nichts raus, der Ansatz kommt mir auch falsch vor.
Zeichnerisch kam bei mir 2,5 und -11 raus.
Danke schon mal im Vorraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Do 16.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Noxia und![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ganze ist ein wenig Trickreicher zu lösen.
Zuerst mal gilt ja, dass die Tangenten der Form t(x)=2x+b den Kreis berühren. Das heisst, du kannst die Tangente in die Kreisgleichung für y einsetzen:
Also
(x-3)²+(y-2)²=9
[mm] \gdw [/mm] x²-6x+9+y²-4y+4=9
Jetzt einsetzen:
x²-6x+4+(2x+b)²-4(2x+b)=0
[mm] \gdw [/mm] x²-6x+4+4x²+4bx+b²-8x-4b=0
[mm] \gdw [/mm] 5x²-14x+6bx+4+b²-4b=0
[mm] \gdw x²+\bruch{-14+6b}{5}x+\bruch{(2-b)²}{5}
[/mm]
Jetzt kannst du das in die p-q-Formel einsetzen:
[mm] x_{1;2}=-\bruch{-14+6b}{10}\pm\wurzel{\left(\bruch{-14+6b}{10}\right)²-\bruch{(2-b)²}{5}}
[/mm]
Da Tangenten aber den Graphen nur berühren, kann es nur eine Nullstelle geben. Das heisst, der wurzelterm muss null sein.
Also:
[mm] \left(\bruch{-14+6b}{5}\right)²-\bruch{(2-b)²}{5}=0
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{(-7+3b)²}{5²}=\bruch{(2-b)²}{5}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{49-42b+9b²}{25}=\bruch{5*(2-b)²}{25}
[/mm]
[mm] \gdw49-42b+9b²=20-20b+b²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 8b²-22b+29=0
[mm] \gdw b²-\bruch{11}{4}b+\bruch{29}{8}
[/mm]
Das ganze kannst du jetzt wieder mit der p-q-Formel nach b auflösen und erhältst die beiden Werte für die b's, so dass t(x)=2x+b Tangenten am Kreis werden.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 17.11.2006 | | Autor: | noxia |
Hallo Marius!
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe! Ich bin wirklich sehr froh, dass ich mich in einem Forum voll von so hilfsbereiten Leuten angemeldet habe. :)
Wieso der Wurzelterm null sein muss, war für mich nicht gleich ganz klar. Ich wiederhole nochmal in meinen Worten, wie ich es verstanden habe.
Wenn man die Tangente als y in die Kreisgleichung einsetzt, bekommt man für x die x-Koordinate des Punktes heraus, an dem die Tangente den Kreis berührt.
Weil Tangenten den Kreis aber nur einmal berühren, muss der Wurzelterm gleich Null sein.
Du sagtest " Da Tangenten aber den Graphen nur berühren, kann es nur eine Nullstelle geben."
Was du mit der einen Nullstelle meintest, hab ich nicht verstanden, weil wir durch x doch den Schnittpunkt von Tangente und Kreis und nicht die Nullstelle ausgerechnet haben, dachte ich.
Hab ich das falsch verstanden?
Danke nochmal für deine Hilfe. Auf den Ansatz wäre ich allein nie gekommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Sa 18.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe mich vielleicht etwas unklar ausgedrückt.
Wenn du einen Kreis und eine Gerade gleichsetzt gibt es drei Möglichkeiten:
1) Es gibt keinen Schnittpunkt, d.h. die Gerade ist eine sog. Passante
2) Es gibt Zwei Schnittpunkte, die Gerade nennt man dan Sekante
Und 3) Es gibt genau einen Schnittpunkt, die Gerade ist eine Tangente.
Genau den dritten Fall suchen wir.
Da wir ja mit der p-q-Formel im Allgemeinen zwei Lösungen bekommen, nämlich [mm] x_{\red{1;2}}=-\bruch{p}{2}\red{\pm}\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}, [/mm] wir aber nur eine Lösung haben wollen, muss der Wurzeltern =0 werden. Dann haben wie nämlich nur eine Lösung, die allerdings eine sogenannte doppelte Nullstelle ist.
[mm] x_{1;2}=-\bruch{p}{2}\pm\Wurzel{0}=-\bruch{p}{2}.
[/mm]
Genau das habe ich in der ersten Antwort gefordert.
Ich hoffe, das ist nun klarer, wenn nicht, frag weiter nach, dafür ist das Forum ja da.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 18.11.2006 | | Autor: | noxia |
Danke, dass du mir das nochmal erklärt hast. So hatte ich es auch verstanden. Was das ganze aber mit der Nullstelle zu tun hat und wieso man den x-Wert dann "doppelte Nullstelle" nennt, versteh ich immer noch nicht. Aber wie man das ganze nennt, ist für das Verständnis der Aufgabe wahrscheinlich sowieso nicht so wichtig.
Also nochmal danke für die Hilfe. Wenn ich mal wieder Probleme bei einer Aufgabe habe, werde ich mich nochmal hier melden. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Immer wenn man bei der p-q-Formel unter der Wurzel etwas 0 werden lässt, hat man eine doppelte Nullstelle.
Man kriegt ja trotzdem eigentlich 2 Nullstellen raus, nur dass diese gleich sind :) Und Nullstelle hat er das genannt, weil wenn man deine Geradengleichung in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man ja sozusagen eine neue Funktion. Und von der sucht man die Nullstelle. Das eigentliche Problem bleibt trotzdem die Berührpunktsbestimmung, aber in dem Augenblick kann man auch sagen, dass man die Nullstelle der Funktion sucht.
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[mm] \text{Hi,}
[/mm]
> Hallo Noxia und
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> Das ganze ist ein wenig Trickreicher zu lösen.
>
> Zuerst mal gilt ja, dass die Tangenten der Form t(x)=2x+b den Kreis
> berühren. Das heisst, du kannst die Tangente in die Kreisgleichung für y einsetzen:
> Also
>
> (x-3)²+(y-2)²=9
> $ [mm] \gdw [/mm] $ x²-6x+9+y²-4y+4=9
> Jetzt einsetzen:
> x²-6x+4+(2x+b)²-4(2x+b)=0
> $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] x²-6x+4+4x²+\red{4bx}+b²-8x-4b=0
[/mm]
> $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 5x²-14x+\red{6bx}+4+b²-4b=0
[/mm]
[mm] \text{Ich frag' mich, wie du hier auf 6bx kommst, wo doch vorher von 4bx die Rede war.}
[/mm]
> $ [mm] \gdw x²+\bruch{-14+6b}{5}x+\bruch{(2-b)²}{5} [/mm] $
[mm] \text{Könnt ja noch mal darübergucken.}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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[mm] \text{Hier noch mal die gesamte Rechnung:}
[/mm]
[mm] $(x-3)^2+(y-2)^2=9$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2-6x+9+y^2-4y+4=9$
[/mm]
$t [mm] \in [/mm] K$
[mm] $\Rightarrow x^2-6x+9+(2x+b)^2-4(2x+b)+4=9$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2-6x+9+4x^2+4bx+b^2-8x-4b+4=9$
[/mm]
[mm] $\gdw 5x^2-14x+4bx-4b+b^2+4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 5x^2+(-14+4b)x-4b+b^2+4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+\bruch{-14+4b}{5}x+\bruch{-4b+b^2+4}{5}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{1;2}=-\bruch{-14+4b}{10}\pm\wurzel{\left(\bruch{-14+4b}{10}\right)^2-\bruch{-4b+b^2+4}{5}}$
[/mm]
[mm] \text{Die Diskriminante muss = 0 sein.}
[/mm]
[mm] $\left(\bruch{-14+4b}{10}\right)^2-\bruch{-4b+b^2+4}{5}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{196-112b+16b^2}{100}-\bruch{-4b+b^2+4}{5}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 196-112b+16b^2-(-4b+b^2+4)20=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 196-112b+16b^2-(-80b+20b^2+80)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 196-112b+16b^2+80b-20b^2-80=0$
[/mm]
[mm] $\gdw -4b^2-32b+116=0$
[/mm]
[mm] $\gdw b^2+8b-29=0$
[/mm]
[mm] $\gdw b_{1;2}=-4\pm\wurzel{16+29}$
[/mm]
[mm] $\gdw b_{1}=-4+\wurzel{45}=-4+3\wurzel{5} \vee b_{2}=-4-3\wurzel{5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow t_{1}:t_{1}(x)=2x-4+3\wurzel{5} \wedge t_{2}:t_{2}(x)=2x-4-3\wurzel{5}$
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 So 19.11.2006 | | Autor: | noxia |
@ Teufel: Jetzt hab ich verstanden, warum man es doppelte Nullstelle nennt. Danke für die Erklärung! Mir ist nicht aufgefallen, dass sich die Kreisgleichung in eine quadratische Funktion "verwandelt" hat und so f(x) gleich Null geworden ist. :) Ganz schön dumm von mir...
@ Stefan: Den Fehler hab ich gar nicht bemerkt. Gut, dass du so genau hingeschaut hast und danke, dass du mir die Aufgabe noch zuende vorgerechnet hast! Wie ich mich kenne, hätte ich da irgendwo noch mindestens einen Rechenfehler eingebaut.
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