Tangente Tangentialebene'? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
bestimmen Sie für die FUnktion f(x,y) mit f(x,y) = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)*e^{-x} [/mm] die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (0.1)
Diese Funktion ist ja eine [mm] 2_D [/mm] Funktion, oder wie man dem sagen kann. Also ich kann die FUnktion schön auf einem Blatt mit den Achsen x und y aufzeichnen. Nun frage ich mich nur gerade, wie eine Tangentialebene möglich sein soll? Ich kann doch nur eine Tangente zeichnen? Aber um eine Tangentialeben ist was räumliches...
Ich leite mal diese Funktion ab um die Tangentensteigung beim massgebenden Punkt zu erhalten
m [mm] =\bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{F_x}{F_y} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-x} * (2x -x^2 -y^2)}{2ye^{-x}}
[/mm]
Nun ist die Steigung m beim Punkt P(0,1) gesucht, die Zahlen eingesetzt und vereifnacht ergibt
m = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
Diese Steigung als Vektor ausgedrückt: [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Also hätte die Tangente folgende Form
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ -1}
[/mm]
oder in Koordinatenform
y = - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + n
P(0,1)
1 = n
also
y = - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + 1
y + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -1 = 0
2y + x -2 = 0
Aber eben gesucht ist eine Tangentialebene
In der Musterlösung steht: -x + 2y-1....Aber eben das ist beleibe keine Tangentialebene? Zudem stimmt das auch nicht mit meiner Lösung, was mache ich falsch?
Kontrolliere das mal noch
[mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \vektor{f_x \\ f_y} [/mm] = [mm] \vektor{e^{-x} * (2x -x^2 -y^2)\\ 2ye^{-x}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
Tangente: [mm] f_x(P) [/mm] * (x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] f_y*(y-y_0) [/mm] = 0
-1 *(x) + 2(y-1) = 0
-x + 2y -2 = 0
Hier erhalte ich ja komplett andere Vorzeichen'?
Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> bestimmen Sie für die FUnktion f(x,y) mit f(x,y) = [mm](x^2[/mm] +
> [mm]y^2)*e^{-x}[/mm] die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle
> (0.1)
>
> Diese Funktion ist ja eine [mm]2_D[/mm] Funktion, oder wie man dem
> sagen kann. Also ich kann die FUnktion schön auf einem
> Blatt mit den Achsen x und y aufzeichnen. Nun frage ich
> mich nur gerade, wie eine Tangentialebene möglich sein
> soll? Ich kann doch nur eine Tangente zeichnen? Aber um
> eine Tangentialeben ist was räumliches...
Nun, von einer [mm]2_D[/mm]-Funktion
kann keine Tangentialebene gebildet werden.
Es handelt sich hier, um in Deiner Sprache zu bleiben,
um eine [mm]3_D[/mm]-Funktion.
>
> Ich leite mal diese Funktion ab um die Tangentensteigung
> beim massgebenden Punkt zu erhalten
>
> m [mm]=\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{F_x}{F_y}[/mm] = [mm]\bruch{e^{-x} * (2x -x^2 -y^2)}{2ye^{-x}}[/mm]
>
> Nun ist die Steigung m beim Punkt P(0,1) gesucht, die
> Zahlen eingesetzt und vereifnacht ergibt
>
> m = [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
> Diese
> Steigung als Vektor ausgedrückt: [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
>
> Also hätte die Tangente folgende Form
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] + [mm]u*\vektor{2 \\ -1}[/mm]
>
> oder in Koordinatenform
> y = - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] + n
> P(0,1)
> 1 = n
> also
> y = - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] + 1
> y + [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] -1 = 0
> 2y + x -2 = 0
>
> Aber eben gesucht ist eine Tangentialebene
>
> In der Musterlösung steht: -x + 2y-1....Aber eben das ist
> beleibe keine Tangentialebene? Zudem stimmt das auch nicht
> mit meiner Lösung, was mache ich falsch?
>
> Kontrolliere das mal noch
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{f_x \\ f_y}[/mm] = [mm]\vektor{e^{-x} * (2x -x^2 -y^2)\\ 2ye^{-x}}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> Tangente: [mm]f_x(P)[/mm] * (x - [mm]x_0)[/mm] + [mm]f_y*(y-y_0)[/mm] = 0
> -1 *(x) + 2(y-1) = 0
> -x + 2y -2 = 0
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> Hier erhalte ich ja komplett andere Vorzeichen'?
>
>
> Danke, gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ach ja...Die FUnktion f(x,y) ist ja von den beiden Variablen x und y abhängig....Dann ist es natürlich was im Raum...
Aber dann müsste doch beim gesuchten Punkt noch eine dritte Koordinate her? Wieso steht die Stelle P(0;1)? Klar könnte ich die dritte Koordinate berechnen, aber dann darf nicht der Punkt so angegeben werden. Also habe einfach mal noch die z-Koordinate berechnet (0,1,1)
Habe gerade gsehen, dass im Skript eine ähnliche Aufgabe ist.
Da wurde folgendes gemacht
z = f(x,y)
F(x,y,z) = f(x,y) -z = 0
[mm] \nabla [/mm] f(x,y,z) = [mm] \vektor{f_x \\ f_y \\ f_z } [/mm] = [mm] \vektor{e^{-x} \cdot{} (2x -x^2 -y^2) \\ 2ye^{-x} \\ -1}
[/mm]
An der Stelle (0,1,1)
[mm] \nabla [/mm] f(x,y,z) = [mm] \vektor{-1\\ 2 \\ 1} [/mm]
Tangentialebene
[mm] -1*(x-x_0) [/mm] + [mm] 2*(y-y_0) [/mm] + 1*(z - [mm] z_0) [/mm] = 0
-x + 2*(y-1) + 1*(z - 1) = 0
-x + 2y -2 + z -1 = 0
Wieso stimmt das nicht? Ich bekomme langsam aber wieder mal eine Krise...
Danke, gruss Kuriger
-x + 2*(y-1) = 0
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:59 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Dieses Beispiel ist ja vergleichbar mit diesem hier:
z = x cos(y) - [mm] ye^x
[/mm]
[mm] P_0 [/mm] = (0; 0; 0)
Es gilt
[mm] F_x [/mm] = fx = cos(y) [mm] -ye^x [/mm] = 1
[mm] F_y [/mm] = fy = -x sin(y) - [mm] e^x [/mm] = -1
[mm] F_z [/mm] = -1
somit ist die Tangentialebene gegeben durch
1(x - 0) - 1(y -0) - 1(z - 0) = 0
also
x - y - z = 0
Gruss Kuriger
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Hallo,
> Hallo
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> Ach ja...Die FUnktion f(x,y) ist ja von den beiden
> Variablen x und y abhängig....Dann ist es natürlich was
> im Raum...
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> Aber dann müsste doch beim gesuchten Punkt noch eine
> dritte Koordinate her? Wieso steht die Stelle P(0;1)? Klar
> könnte ich die dritte Koordinate berechnen, aber dann darf
> nicht der Punkt so angegeben werden. Also habe einfach mal
> noch die z-Koordinate berechnet (0,1,1)
>
> Habe gerade gsehen, dass im Skript eine ähnliche Aufgabe
> ist.
>
> Da wurde folgendes gemacht
> z = f(x,y)
> F(x,y,z) = f(x,y) -z = 0
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y,z) = [mm]\vektor{f_x \\ f_y \\ f_z }[/mm] =
> [mm]\vektor{e^{-x} \cdot{} (2x -x^2 -y^2) \\ 2ye^{-x} \\ -1}[/mm]
>
> An der Stelle (0,1,1)
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y,z) = [mm]\vektor{-1\\ 2 \\ 1}[/mm]
>
hier muss es doch [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] heißen
> Tangentialebene
> [mm]-1*(x-x_0)[/mm] + [mm]2*(y-y_0)[/mm] + 1*(z - [mm]z_0)[/mm] = 0
> -x + 2*(y-1) + 1*(z - 1) = 0
>
> -x + 2y -2 + z -1 = 0
>
> Wieso stimmt das nicht? Ich bekomme langsam aber wieder mal
> eine Krise...
>
>
> Danke, gruss Kuriger
>
> -x + 2*(y-1) = 0
>
>
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Ach ja...Die FUnktion f(x,y) ist ja von den beiden
> Variablen x und y abhängig....Dann ist es natürlich was
> im Raum...
>
> Aber dann müsste doch beim gesuchten Punkt noch eine
> dritte Koordinate her? Wieso steht die Stelle P(0;1)? Klar
> könnte ich die dritte Koordinate berechnen, aber dann darf
> nicht der Punkt so angegeben werden. ...
kapiere ich nicht - wieso sollte das verboten sein. Deine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] "sorgt dafür, dass eine Gebilde im Raum entsteht". Dieses "Gebilde" entsteht dadurch, dass man "entlang der xy-Ebene" [mm] $x\,$ [/mm] Einheiten in Richtung der $x$-Achse und [mm] $y\,$ [/mm] Einheiten in Richtung der $y$-Achse läuft und dann schaut, wie hoch (nach oben) man [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] (senkrecht zur xy-Ebene) abzutragen hat - sofern $f(x,y) [mm] \ge 0\,$ [/mm] - im Falle $f(x,y) [mm] \le [/mm] 0$ müßte man diese Höhe dann auf die "andere Seite der xy-Ebene" abtragen.
Bzgl. des Restes solltest Du Dir klarmachen, wo es Zusammenhänge bei Mannigfaltigkeiten und Tangentialebenen bzgl. des ![[]](/images/popup.gif) Satzes von der impliziten Funktion gibt. Ich bin in Diff.-Geo. leider auch alles andere als fit, aber ich denke, dass man das in jedem einigermaßen vernünftigen Buch über Diff.-Geo. nachlesen kann.
Gruß,
Marcel
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