Tangente Polarkoordinate < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Die Kurve:
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] = 4xy
hat für einen bestimmten Winkel [mm] \alpha, [/mm] 0° < [mm] \alpha [/mm] < 90°, eine horizontale Tangente. Berechnen Sie den Winkel [mm] \alpha: [/mm] (Hint: verwenden Sie Polarkoordinaten und die Tatsache, dass überall auf der Kurve die Gleichung [mm] r(\alpha) \bruch{dr}{d\alpha} [/mm] = -1 gilt (Diese Gleichung muss nicht bewiesen werden)
Also ich befolge mal den Hiwneis und mache daraus Polarkoordinaten.
[mm] r^4 [/mm] = [mm] 4*r^2*cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] = [mm] 4*cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Nun sollte ich wohl dem folgenden Hinweis folgen:
"Gleichung [mm] r(\alpha) \bruch{dr}{d\alpha} [/mm] = -1 gilt"
Was bedeutet das [mm] r(\alpha) [/mm] ?
[mm] \bruch{dr}{d\alpha} [/mm] wäre ja:
r = [mm] \wurzel{4*cos(\alpha) * sin(\alpha)}
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{d\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{2*(-sin^2 (\alpha) + cos^2 (\alpha)}{\wurzel{4*cos (\alpha) * sin(\alpha)}}
[/mm]
Ich steh wiedermal ziemlich an...
Gruss Kuriger
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 17.10.2010 | | Autor: | weduwe |
wie machst du das?
polarkoordinaten einsetzen und berücksichtigen, dass gilt sin²x + cos²x = 1 ergibt doch
[mm] r^2=2\cdot sin2\alpha\to r\frac{dr}{d\alpha}=2\cdot cos2\alpha
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Danke für deine Hilfe
Fehlt da nicht noch ein 2?, dasjenige von [mm] sin(2\alpha) [/mm] abgeleitet?
Danke, Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Danke für deine Hilfe
>
> Fehlt da nicht noch ein 2?, dasjenige von [mm]sin(2\alpha)[/mm]
> abgeleitet?
Differenziert man
[mm]r^2=2\cdot sin2\alpha\[/mm]
so steht zunächst da:
[mm]\blue{2}*r*\bruch{dr}{d\alpha}=2*\blue{2}\cdot cos2\alpha[/mm]
Division durch 2 liefert:
[mm]r*\bruch{dr}{d\alpha}=2\cdot cos2\alpha[/mm]
>
> Danke, Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Danke für die detaillierte Erklärung wie das zustande kommt
NUn einfach
[mm] -1=2\cdot cos2\alpha[/mm]
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] cos(2\alpha)
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] 2cos^2 (\alpha) [/mm] -1
[mm] \bruch{1}{4} =cos^2 (\alpha) [/mm]
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
(Andere Lösung kommt nicht in Frage, da der Definitionsbereich eingeschränkt ist)
[mm] \alpha [/mm] = 60°
Stimmt das so?
Danke, Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Danke für die detaillierte Erklärung wie das zustande
> kommt
> NUn einfach
>
> [mm]-1=2\cdot cos2\alpha[/mm][/mm]
>
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]cos(2\alpha)[/mm]
>
>
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]2cos^2 (\alpha)[/mm] -1
>
> [mm]\bruch{1}{4} =cos^2 (\alpha)[/mm]
> [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> (Andere Lösung kommt nicht in Frage, da der
> Definitionsbereich eingeschränkt ist)
> [mm]\alpha[/mm] = 60°
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke, Gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mo 18.10.2010 | | Autor: | weduwe |
warum (schon wieder) so kompliziert:
[mm] cos2\alpha=-\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] 2\alpha=180° [/mm] - 60° = [mm] 120°\to \alpha=60°
[/mm]
|
|
|
|
