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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 So 27.03.2005 | | Autor: | Heavy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Erstmal danke für die Hilfe.Ich Sitze hier und komme an einer an sich sicherlich simplen Aufgabe nicht weiter, da ich allerdings noch einiges Lernen muss hoffe ich mit eurer Hilfe verstehen zu können wie man folgende Aufgabe löst
Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2
a) Bestimmen sie f´(-2) und zeichnen sie den Graphen von f sowie die gerade mit der Steigung f´(-2) durch den Punkt P0 (-2 |4).
b) Prüfen sie rechnerich, ob P0 der einzige Punkt ist, den die Gerade und der Grap von f gemeinsam haben.
Also an sich weiß ich irgendwo schon wies geht aber mir fehlt der Anfang bin durch all die Formeln durcheinander geraten.
Also den Graphen von F zu zeichnen ist ja kein problem das müsste doch eine Parabel im Punkt P0 sein oder ?
Wie zeichne bzw. wie berechne ich denn jetzt die Gerade die ich ja duch P0 zusätzlich zeichnen soll ?
Ich weiß ja das f`(-2) die Steigung der Geraden ist, mit der diese durch P0 geht oder ?
Muss ich nun irgendwas mit m(x) = f(x) - f (x0)
--------------
x - x0
berechnen oder einfach nur die -2 in die Funktion einsetzen ( = 4 )
was mach ich dann weiter wie muss ich vorgehen ich finde keinen Anfang / blicke nciht so recht dahinter.
Hoffe ihr könnt mir schnell helfen. Danke sehr
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Hallo,
die Gleichung der Tangente ermittelst Du durch die sogenannte 2-Punkte-Form:
[mm]\frac{{y\; - \;y_0 }}
{{x\; - \;x_0 }}\; = \;y'\left( {x_0 } \right)[/mm]
Hieraus ergibt sich:
[mm]y\; = \;y'\left( {x_0 } \right)\;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\; + \;y_0 [/mm]
Um zu zeigen, dass diese Gerade mit der Parabel nur den einen Punkt gemeinsam hat, ist die Parabel mit der Geraden zu schneiden.
[mm]x^{2} \; = \;m\;x\; + \;b[/mm]
Diese Gleichung nach x auflösen und die Lösungen betrachten.
Gruß
MathePower
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Hi, Heavy,
vermutlich sollst Du die Tangentensteigung mit Hilfe des Differenzenquotienten ermitteln:
[mm] \bruch{f(x)-f(xo)}{x-xo} [/mm] (zunächst mit x [mm] \not= [/mm] xo)
= [mm] \bruch{x^{2} - 4}{x - (-2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{2} - 4}{x + 2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x+2)(x-2)}{x + 2}
[/mm]
Kürzen durch (x+2) ergibt:
= x - 2.
Wenn nun x [mm] \to [/mm] -2 geht,
geht (x - 2) gegen -4
und dies ist die gesuchte Steigung im Punkt P.
Nun zur Tangente selbst: y = mx + t mit m = -4
Also: y = -4x + t.
Und da P auf dieser Geraden liegt, muss, wenn man seine Koordinaten einsetzt, eine wahre Aussage rauskommen:
4 = -4*(-2) + t <=> t = -4.
Ergebnis für die Tangente: y = -4x - 4.
b) Gleichsetzen von Funktionsterm und Tangente:
[mm] x^{2} [/mm] = -4x - 4 oder: [mm] x^{2} [/mm] + 4x + 4 = 0
Diese Gleichung hat nur die einzige Lösung x = -2. (q.e.d.)
Jetzt klar?
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