Tangente + Kreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
| Aufgabe | Zwei Tangenten berühren den Kreis in den Punkten A bzw. B. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangenten.
x² + y² = 100, A ( - 8 | yA ) B ( 6 | yB ) mit yA > 0 und yB > 0 |
Hallo!
Ich hab mich mal durchgerungen am Wochenende, das Nichtverstandene aus der Schule nachzuholen...Oje..und leider weiss ich wirklich nicht, was ich bei dieser Aufgabe machen so? Erstmal yA und yB berechnen...aber wie?
Kann mir das vllt. jemand schritt für schritt erklären..möchte das wirklich verstehn...
Danke schonmal und ein schönes Wochenende an alle..^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Das kriegen wir schon hin :)
Punkt A:
Du hast ja die x-Koordinate des Punktes gegeben. Setzte die einfach in deine Kreisgleichung ein und du wirst 2 y-Werte erhalten, wovon aber nur einer gesucht ist (denk an [mm] y_A>0).
[/mm]
Mit Punkt B geht das genau so!
Damit hast du deine beide Punkte A und B.
Die Tangenten kannst du jetzt "zu Fuß" herstellen, oder du benutzt eine Formel, die du sicher im tafelwerk findest!
Wie hättest du es lieber?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
Oh danke für die schnelle Hilfe..ok ich glaub das mit den Punkten hab ich verstanden...
Hab jetzt für
A(-8|6) und für B(6|8)
mhm..vllt. wäre dieses Ausrechnen besser als die Formel? ..damit könnte man das ja vllt. Überprüfen? .. Hauptsache ich verstehe das:)*lach*
Danke schonmal, das ist total lieb!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Die Punkte stimmen erstmal :)
Du kannst dir ja mal den Kreis skizzieren und die beiden Punkte A und B einzeichnen.
Ich betrachte jetzt nur die Tangente durch A:
Es würde sich anbieten die Tangente in Punkt-Steigungs-Form anzugeben, da du ja schon den Punkt A gegeben hast.
t: [mm] y=m(x-x_A)+y_A [/mm] (bei Fragen hierzu einfach nochmal melden!)
Also fehlt dir noch das m.
Du weißt ja, dass der Radius senkrecht auf der Tangente steht! Also könntest du jetzt eine Gerade aufstellen, die durch den Koordinatenurspung (also den Mittelpunkt des Kreises) und durch A geht.
Diese Gerade hat ja einen Anstieg, den du sicher berechnen kannst!
Und für senkrechte Anstiege gilt die Formel:
[mm] m_1=-\bruch{1}{m_2}
[/mm]
Für [mm] m_2 [/mm] könntest du deinen berechneten Anstieg einsetzen und dadurch würdest du den Anstieg der Tangente erhalten!
Dann setzt du dein erhaltenes m und die x- und y-Koordinate von A in t: [mm] y=m(x-x_A)+y_A [/mm] und wärs für Punkt A fertig.
Wenn du das mit der "normalen" Gleichung t: y=mx+n machen willst, geht das genau so. Du rechnest dein m aus, setzt deinen Punkt A ein und kannst ein n erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
Oje, das sieht ja irre verwirrend aus..:)
Also eine Skizze habe ich mir nun gezeichnet.
Aber irgendwie steh ich total aufm schlauch..
t: $ [mm] y=m(x-x_A)+y_A [/mm] $ soll ich hier das nun einsetzen`?..oje, tut mir leid...ich verstehs nicht so recht...
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Hallo, finden wir doch erst die Gleichung der Gerade [mm] y_1=m_1+n_2, [/mm] die durch den Punkt (0; 0) und A(-8; 6) geht, am Punkt (0; 0) erkennst du, n=0, jetzt einsetzen:
[mm] 6=m_1*(-8)
[/mm]
[mm] m_1=-\bruch{3}{4}
[/mm]
die dazu senkrechte Gerade ist die gesuchte Tangente, es gilt, [mm] m_1*m_2=-1, [/mm] also ist [mm] m_2=\bruch{4}{3}, [/mm] somit hast du schon den Anstieg, du benötigst noch [mm] n_2,
[/mm]
[mm] y_2=m_2*x+n_2 [/mm] setze (-8; 6) dieser Punkt gehört ja auch zur Tangente
[mm] 6=\bruch{4}{3}*(-8)+n_2
[/mm]
[mm] n_2=\bruch{50}{3}
[/mm]
jetzt ist die erste Tangente bekannt: [mm] y_2=\bruch{4}{3}x+\bruch{50}{3}
[/mm]
jetzt berechne die 2. Tangente, dann beide gleichsetzen, um Schnittpunkt zu bestimmen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
ok..ich versuchs mal mit dem aufstellen:)
8=m2*6
m2= 4/3
8=-3/4 *(6)+n3
n3=- 1 7/9
y3=-3/4x+ -1 7/9
ist das ansatzweise richtig?
beim gleichsetzen komm ich nun auf total verrückte werte...wie genau muss ich da mit dem schnittpunkt vorgehen?
DANKE
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Hallo,
der Anstieg [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] der 2. Tangente ist korrekt, aber n stimmt nicht
[mm] y_4=-\bruch{3}{4}x+n_4 [/mm] Punkt (6; 8) einsetzen
[mm] 8=-\bruch{3}{4}*6+n_4
[/mm]
[mm] n_4=8+\bruch{18}{4}=\bruch{32}{4}+\bruch{18}{4}=\bruch{50}{4}
[/mm]
die 2. Tangente lautet also
[mm] y_4=-\bruch{3}{4}x+\bruch{50}{4}
[/mm]
jetzt solltest du auch einen sinnvollen Schnittpunkt durch Gleichsetzen der Tangentengleichungen erhalten, die Koordinaten des Schnittpunktes sind ganzzahlig,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
Ich fühl mich ja schon richtig schlecht..aber ich glaub ich hab mich SCHONWIEDEr...verechnet..
ich hab das gleichgesetzt:
[mm] -\bruch{3}{4}x+\bruch{50}{4} =\bruch{4}{3}x+\bruch{50}{3} [/mm]
da bekomm ich dann x= 7 1/7 raus...was muss ich damit machen bzw. wo einsetzen um den schnittpkt. rauszubekommen?
Nochmal ein riesen DANKE!
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Leider, dein x ist nicht korrekt, du schaffst das,
[mm] \bruch{4}{3}x+\bruch{50}{3}=-\bruch{3}{4}x+\bruch{50}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{16}{12}x+\bruch{200}{12}=-\bruch{9}{12}x+\bruch{150}{12}
[/mm]
jetzt ganze Gleichung mit 12 multiplizieren, x= ....
dann setzt du x= .... in eine der beiden Tangentengleichungen ein und berechnest y= ....
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Miranda |
ok...
[mm] \bruch{16}{12}x+\bruch{200}{12}=-\bruch{9}{12}x+\bruch{150}{12} [/mm]
also mein x= -2
und wenn ich das bei
[mm] y_4=-\bruch{3}{4}x+\bruch{50}{4} [/mm] einsetze
[mm] y_4=-\bruch{3}{4}*(-2)+\bruch{50}{4} [/mm]
= 14 also ist der Schnittpunkt S(-2|14)?
Stimmt das etwas wirklich??*freu*
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Glückwunsch, du hast den Schnittpunkt gefunden, Steffi
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