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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
In Welchem Punkt hat der Graph der ln-Funktion eine Tangente, die parallel zur ersten Winkelhalbierenden ist?
Meine Lehrerin rechnet hier mit dem Punkt (0|-1).
Warum nimmt man diesen Punkt? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo puldi!
Das scheint mir schon das Ergebnis zu sein (bzw. dazu zu gehören) ... gefragt ist hier doch nach der Lösung folgender Gleichung:
[mm] $$\left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ x' \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
Mmmm...
ln(x)' = 1/x
x' = 1
Aber wie rechne ich das jetzt durch??
Bitte erklärt es mir, ich bin leider nicht so schlau :-(
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Hallo puldi,
> Mmmm...
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> ln(x)' = 1/x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> x' = 1
>
> Aber wie rechne ich das jetzt durch??
Das kannst du! Ich denke, es ist dir eher nicht ganz klar, warum du was machen musst, oder?
Also die 1.WH ist die Gerade, die beschrieben wird durch $f(x)=x$
(allg. Geradengleichung [mm] $f(x)=m\cdot{}x+b$)
[/mm]
Die 1. WH ist also [mm] $f(x)=\red{1}\cdot{}x+\blue{0}$
[/mm]
Sie hat also in jedem Punkt die Steigung [mm] \red{1}
[/mm]
Eine Parallele zur 1. WH ist ja nur eine auf der x-Achse nach links oder rechts verschobene 1. WH.
Die hat also die Gleichung [mm] $h(x)=\red{1}\cdot{}x+k$, [/mm] wobei k die Verschiebung ist
Die Steigung bleibt gleich (nämlich [mm] \red{1})
[/mm]
(Das muss ja bei parallelen Geraden auch so sein  )
Das hast du oben berechnet, indem du die Ableitung der 1.WH [mm] $f'(x)=\left[x\right]'=\red{1}$ [/mm] ermittelt hast
Nun wird der Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gesucht, an dem die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] genau diese Steigung [mm] \red{1} [/mm] hat, der Punkt also, an dem ihre 1.Ableitung [mm] \red{1} [/mm] ist
Also hast du richtig berechnet [mm] $g'(x)=[\ln(x)]'=\frac{1}{x}$
[/mm]
Nun wollen wir die Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ermitteln, an der [mm] $\frac{1}{x_0}=\red{1}$ [/mm] ist
Löse das nach [mm] $x_0$ [/mm] auf und ermittele [mm] $y_0$ [/mm] dann durch Einsetzen von [mm] $x_0$ [/mm] in [mm] $g(x)=\ln(x)$
[/mm]
>
> Bitte erklärt es mir, ich bin leider nicht so schlau :-(
LG
schachuzipus
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