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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Di 24.01.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{tan(x)^{n}}{cos(x)^{2}} dx} [/mm] |
Jetzt habe ich folgendes gemacht:
[mm] =\integral{tan(x)^{n}(tan(x))' dx} [/mm] (Cosinus ersetzt)
Nun habe ich die Lösung bekommen und verstehe nicht, wie die von
[mm] \integral{tan(x)^{n}(tan(x))'(\bruch{n+1}{n+1}dx}
[/mm]
auf
[mm] \bruch{1}{n+1}\integral{(tan(x)^{n+1})' dx}
[/mm]
kommen
Ich hoffe ihr könnt mir möglichst schnell helfen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi sissenge,
ist doch einfach die Kettenregel "rückwärts", oder? [mm] u(v(x))'=u'(v) *v'(x) [/mm]
mit [mm] u(v)=v^{n+1} [/mm] und [mm] u'(v)=(n+1)*v^n
[/mm]
bzw [mm] v(x)=\tan(x) [/mm] und [mm] v'(x)=\tan'(x)[/mm]
Lg walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit der Substitution u=tan(x) bekommt man
[mm] \integral{tan(x)^{n}(tan(x))' dx} [/mm] = [mm] \integral{u^n du}= \bruch{u^{n+1}}{n+1}=\bruch{tan^{n+1}(x)}{n+1}$ [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral{\bruch{tan(x)^{n}}{cos(x)^{2}} dx}[/mm]
> Jetzt habe
> ich folgendes gemacht:
>
> [mm]=\integral{tan(x)^{n}(tan(x))' dx}[/mm] (Cosinus ersetzt)
>
> Nun habe ich die Lösung bekommen und verstehe nicht, wie
> die von
>
> [mm]\integral{tan(x)^{n}(tan(x))'(\bruch{n+1}{n+1}dx}[/mm]
> auf
> [mm]\bruch{1}{n+1}\integral{(tan(x)^{n+1})' dx}[/mm]
> kommen
> Ich hoffe ihr könnt mir möglichst schnell helfen!!
wie bereits vorgeschlagen hilft hier eine Substitution, ich schreibe es nur mal formal auf:
Mit [mm] $u=u(x)=\tan(x)$ [/mm] ist [mm] $du=\cos(x)^2dx=\tan'(x)dx$ [/mm] und daher
[mm] $$\int \underbrace{\tan(x)^n}_{=u^n}*\underbrace{\tan'(x)}_{=du/\red{dx}}\red{dx}=\int u^n du\,.$$
[/mm]
Das kannst Du integrieren und danach Rücksubstitution!
Gruß,
Marcel
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