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Tangens: Monotonie des Tangens
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2, +pi/2]

hej leute

wie kann man da am besten ansetzen?
ich weiß das tan(x) = sinx/cosx

aber ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll.

grüße
felix

        
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Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

darfst du die Ableitung verwenden? Dann bist du doch in einem Schritt fertig.

Soll aber die Definition der (hier: strengen) Monotgonier verwendet werden, so muss man wohl mit geeignten trigonometrischen Identitäten argumentieren, oder aber mit geometrischen Argumenten.

Gruß, Diophant

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Tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ja gut. ich darf schon ableiten und ich weis daß die ableitung [mm] 1/(cosx)^2 [/mm] ist.
aber woher weiß ich das diese ableitung immer positiv ist?

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Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

was weißt du über die Vorzeichen von Quadraten?

Gruß, Diophant

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Tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ja gut. klar. [mm] cos(x)^2 [/mm] ist immer positiv. daher ist es auch der kehrwert.
sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?


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Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

>  sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?

nein, aber viel besser: strenge Monotonie der Grundfunktion, nämlich tan(x).

PS: könntest deine Fragen als Fragen, und nicht als Mitteilungen stellen? Das wäre in deinem Interesse: sonst sieht das aus, als ob du schon alles verstanden hast und keine weiteren Fragen mehr offen sind.

Gruß, Diophant  


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Tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ahh. super danke für deine hilfe

okay werde ich machen.
bin mit dem ganze noch nicht so vertraut :)

grüße
felix

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Tangens: Alternative: Additionstheorem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Do 19.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2,
> +pi/2]

das wäre schlecht, es sei denn, ihr habt sowas wie [mm] $\tan(-\pi/2)=-\infty$ [/mm] und [mm] $\tan(\pi/2)=\infty$ [/mm] definiert - bekanntlich ist [mm] $\cos(\pm \pi/2)=0\,.$ [/mm] Sicherlich meinst Du aber oben das Intervall [mm] $]-\pi/2,\pi/2[\,.$ [/mm]

Wir wollen nun zeigen, dass der Tangens sogar streng monoton wächst:
Für [mm] $-\pi/2 [/mm] < x < y < [mm] \pi/2$ [/mm] gilt
[mm] $$\sin(x)/\cos(x) [/mm] < [mm] \sin(y)/\cos(y)\,.$$ [/mm]

Weil [mm] $\cos(r) [/mm] > 0$ auf [mm] $(-\pi/2,\;\pi/2)$ [/mm] gilt, gilt folgende Äquivalenz
[mm] $$\tan(x) [/mm] < [mm] \tan(y)$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \sin(x)\cos(y) [/mm] < [mm] \sin(y)\cos(x)$$ [/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;\sin(y)\cos(x)- \sin(x)\cos(y) [/mm] > [mm] 0\,,$$ [/mm]
und mit dem Additionstheorem folgt
[mm] $$(\star)\gdw\;(\star_2)\;\;\;\sin(y-x) >0\,.$$ [/mm]

Letztstehende Ungleichung gilt aber, weil sich nach den Voraussetzungen an [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ergibt
$$0 < z:=y-x < [mm] \pi/2-(-\pi/2)=\pi\,,$$ [/mm]
und damit gilt [mm] $\sin(z) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Durch "Rückwärtsverfolgen der [mm] $\Leftarrow$" [/mm] folgt also aus [mm] $(\star_2)$ [/mm] die Behauptung.

Gruß,
Marcel

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