matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationTangens
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differentiation" - Tangens
Tangens < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Tangens: Monotonie des Tangens
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2, +pi/2]

hej leute

wie kann man da am besten ansetzen?
ich weiß das tan(x) = sinx/cosx

aber ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll.

grüße
felix

        
Bezug
Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

darfst du die Ableitung verwenden? Dann bist du doch in einem Schritt fertig.

Soll aber die Definition der (hier: strengen) Monotgonier verwendet werden, so muss man wohl mit geeignten trigonometrischen Identitäten argumentieren, oder aber mit geometrischen Argumenten.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ja gut. ich darf schon ableiten und ich weis daß die ableitung [mm] 1/(cosx)^2 [/mm] ist.
aber woher weiß ich das diese ableitung immer positiv ist?

Bezug
                        
Bezug
Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

was weißt du über die Vorzeichen von Quadraten?

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ja gut. klar. [mm] cos(x)^2 [/mm] ist immer positiv. daher ist es auch der kehrwert.
sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?


Bezug
                                        
Bezug
Tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

>  sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?

nein, aber viel besser: strenge Monotonie der Grundfunktion, nämlich tan(x).

PS: könntest deine Fragen als Fragen, und nicht als Mitteilungen stellen? Das wäre in deinem Interesse: sonst sieht das aus, als ob du schon alles verstanden hast und keine weiteren Fragen mehr offen sind.

Gruß, Diophant  


Bezug
                                                
Bezug
Tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Do 19.01.2012
Autor: fe11x

ahh. super danke für deine hilfe

okay werde ich machen.
bin mit dem ganze noch nicht so vertraut :)

grüße
felix

Bezug
        
Bezug
Tangens: Alternative: Additionstheorem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Do 19.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2,
> +pi/2]

das wäre schlecht, es sei denn, ihr habt sowas wie [mm] $\tan(-\pi/2)=-\infty$ [/mm] und [mm] $\tan(\pi/2)=\infty$ [/mm] definiert - bekanntlich ist [mm] $\cos(\pm \pi/2)=0\,.$ [/mm] Sicherlich meinst Du aber oben das Intervall [mm] $]-\pi/2,\pi/2[\,.$ [/mm]

Wir wollen nun zeigen, dass der Tangens sogar streng monoton wächst:
Für [mm] $-\pi/2 [/mm] < x < y < [mm] \pi/2$ [/mm] gilt
[mm] $$\sin(x)/\cos(x) [/mm] < [mm] \sin(y)/\cos(y)\,.$$ [/mm]

Weil [mm] $\cos(r) [/mm] > 0$ auf [mm] $(-\pi/2,\;\pi/2)$ [/mm] gilt, gilt folgende Äquivalenz
[mm] $$\tan(x) [/mm] < [mm] \tan(y)$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \sin(x)\cos(y) [/mm] < [mm] \sin(y)\cos(x)$$ [/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;\sin(y)\cos(x)- \sin(x)\cos(y) [/mm] > [mm] 0\,,$$ [/mm]
und mit dem Additionstheorem folgt
[mm] $$(\star)\gdw\;(\star_2)\;\;\;\sin(y-x) >0\,.$$ [/mm]

Letztstehende Ungleichung gilt aber, weil sich nach den Voraussetzungen an [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ergibt
$$0 < z:=y-x < [mm] \pi/2-(-\pi/2)=\pi\,,$$ [/mm]
und damit gilt [mm] $\sin(z) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Durch "Rückwärtsverfolgen der [mm] $\Leftarrow$" [/mm] folgt also aus [mm] $(\star_2)$ [/mm] die Behauptung.

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]