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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 15.06.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert durch Potenzreihenentwicklung
[mm] \bruch{x-sinx}{xsinx} [/mm]
wobei x gegen 0 geht
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Hallo
Wiedermal ne leichte Aufgabe aber ich komme grade total durcheinander!
also ich habe vor, erst den Zähler, dann den Nenner in PR zu zerlegen
x-sinx xo = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f'''(0) = 1
[mm] f^{(4)} [/mm] = 0
[mm] f^{(5)} [/mm] = -1
...
[mm] f^{2k}(0) [/mm] = [mm] (-1)^{k+1} [/mm] ist das so korrekt?
PR = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n)!}x^{2n}
[/mm]
ich schreibe einfach mal die ersten 3 auf das müsste für den Grenzwert schon reichen
P3(x) = [mm] +\bruch{1}{2}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{24}x^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{720}x^{6}
[/mm]
soweit ok???
ok nun den Nenner
xsinx
f'(0) = 0
f''(0) = 2
f'''(0) = 0
[mm] f^{(4)}(0) [/mm] = -4
[mm] f^{(5)}(0) [/mm] = 0
[mm] f^{(6)}(0) [/mm] = 6
[mm] f^{2n}(0) [/mm] = (2n) * [mm] (-1)^{n}
[/mm]
PR = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}*2n}{(2n)!}x^{2n}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n} [/mm] <-- korrekt?
die ersten 3 Glieder aufschreiben
P3(x) = [mm] x^{2}-\bruch{1}{6}x^{4}+\bruch{1}{120}x^{6}
[/mm]
okay und nun
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}x^{2} - \bruch{1}{24}x^{4} + \bruch{1}{720}x^{6}}{x^{2}-\bruch{1}{6}x^{4}+\bruch{1}{120}x^{6}} [/mm]
davon der limes gegen 0 ist [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
es sollte aber 0 rauskommen glaub ich
wo liegt der/die fehler ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 15.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
Wenn ich die Reihendarstellung für die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] aufschreibe mit:
[mm] $\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] \ = \ [mm] x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}\pm...$
[/mm]
Dann erhalte ich für den Zähler:
[mm] $P_3(x) [/mm] \ =\ [mm] x-\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] x-\left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}\right) [/mm] \ = \ [mm] x-x+\bruch{x^3}{3!}-\bruch{x^5}{5!}+\bruch{x^7}{7!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{6}-\bruch{x^5}{120}+\bruch{x^7}{5040}$
[/mm]
Durch Ausklammern und Kürzen von [mm] $x^2$ [/mm] erhältst Du dann auch einen Bruch mit dem gewünschten Grenzwert.
Gruß
Loddar
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