TNP 2.Ordnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylor´sche Näherungspolynom 2. ter Ordnung:
f(x,y)= [mm] \wurzel{5-2x^2-y^2} [/mm] im Punkt P(0,2) |
Hallo,
habe das Beispiel nun fast gelöst und bin gerade dabei in folgende Formel einzusetzen:
[mm] T_2 [/mm] = [mm] f(x_0,y_0)+ f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+ f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)+ \bruch{1}{2!}*[f_x_x(x_0,y_0)*(x-x_0)^2+2*f_x_y(x_0,y_0)*(x-x_0)(y-y_0)+f_y_y(x_0,y_0)*(y-y_0)^2]
[/mm]
Mein Problem liegt darin dass ich nicht weiß wie ich das [mm] f_x_y(x_0,y_0) [/mm] berechnen soll. Muss ich dabei einmal nach x und einmal nach y ableiten?
Ich hoffe mir kann dabei wer behilflich sein.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Taylor´sche Näherungspolynom 2. ter
> Ordnung:
>
> f(x,y)= [mm]\wurzel{5-2x^2-y^2}[/mm] im Punkt P(0,2)
> Hallo,
>
> habe das Beispiel nun fast gelöst und bin gerade dabei in
> folgende Formel einzusetzen:
>
> [mm]T_2[/mm] = [mm]f(x_0,y_0)+ f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+ f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)+ \bruch{1}{2!}*[f_x_x(x_0,y_0)*(x-x_0)^2+2*f_x_y(x_0,y_0)*(x-x_0)(y-y_0)+f_y_y(x_0,y_0)*(y-y_0)^2][/mm]
>
> Mein Problem liegt darin dass ich nicht weiß wie ich das
> [mm]f_x_y(x_0,y_0)[/mm] berechnen soll. Muss ich dabei einmal nach x
> und einmal nach y ableiten?
Ja
FRED
>
> Ich hoffe mir kann dabei wer behilflich sein.
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke,
da ich mir leider nicht ganz sicher bin, schreibe ich mal meine Rechengänge:
f(x,y)= [mm] (5-2x^2-y^2)^1^/^2
[/mm]
[mm] f(x_0,y_0)= \wurzel{5-2*0^2-2^2}= \wurzel{1}= [/mm] 1
[mm] f_x= \bruch{1}{2}*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2*(-4x)= -2x*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2
[/mm]
[mm] f_x_x=-\bruch{1}{2}*(-2x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-4x)+(-2)*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] (-4x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-2*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-4x-2* \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}
[/mm]
dann habe ich für x=0 und y=2 eingesetzt:
[mm] f_x_x(x_0,y_0)= \bruch{0-2*\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}= [/mm] -2
und nun dasselbe für
[mm] f_y= \bruch{1}{2}*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2*(-2y)= -y*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2
[/mm]
[mm] f_y_y=-\bruch{1}{2}*(-y)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-2y)+(-1)*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] (-y^2)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-y^2* \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}
[/mm]
[mm] f_y_y(x_0,y_0)= \bruch{-4-\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}= [/mm] -5
Soweit ist alles klar
Nun zu [mm] f_x_y:
[/mm]
ich bin von [mm] f_x [/mm] ausgegangen und habe dann nach y abgeleitet.
[mm] f_x_y= -\bruch{1}{2}*(-2x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-2y)=
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}*4xy*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=
[/mm]
[mm] -2xy*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-2xy}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=0
[/mm]
das setze ich nun in bereits oben erwähnte Formel ein.
Stimmt das?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 12.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Danke,
> da ich mir leider nicht ganz sicher bin, schreibe ich mal
> meine Rechengänge:
>
> f(x,y)= [mm](5-2x^2-y^2)^1^/^2[/mm]
>
> [mm]f(x_0,y_0)= \wurzel{5-2*0^2-2^2}= \wurzel{1}=[/mm] 1
>
> [mm]f_x= \bruch{1}{2}*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2*(-4x)= -2x*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2[/mm]
>
> [mm]f_x_x=-\bruch{1}{2}*(-2x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-4x)+(-2)*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm](-4x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-2*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
Da ist Dir am Anfang ein Quadrat verloren gegangen [mm] $-4x^2$
[/mm]
>
> [mm]\bruch{-4x-2* \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}[/mm]
>
> dann habe ich für x=0 und y=2 eingesetzt:
>
> [mm]f_x_x(x_0,y_0)= \bruch{0-2*\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}=[/mm] -2
stimmt dennoch
>
> und nun dasselbe für
>
> [mm]f_y= \bruch{1}{2}*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2*(-2y)= -y*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2[/mm]
>
> [mm]f_y_y=-\bruch{1}{2}*(-y)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-2y)+(-1)*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm](-y^2)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-y^2* \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}[/mm]
Tippfehler mal statt minus
>
> [mm]f_y_y(x_0,y_0)= \bruch{-4-\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}=[/mm] -5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soweit ist alles klar
>
> Nun zu [mm]f_x_y:[/mm]
>
> ich bin von [mm]f_x[/mm] ausgegangen und habe dann nach y
> abgeleitet.
>
> [mm]f_x_y= -\bruch{1}{2}*(-2x)*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2*(-2y)=[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*4xy*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=[/mm]
> [mm]-2xy*(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2xy}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=0[/mm]
Das = 0 kommt hier etwas überraschend, da musst Du Dir schon eine neue Zeile gönnen und schreiben, dass Du nun einsetzt.
>
> das setze ich nun in bereits oben erwähnte Formel ein.
ja
>
> Stimmt das?
soweit ja. Du kannst ja zur Kontrolle noch [mm] $f_{yx}$ [/mm] berechnen.
Vergiss [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_y$ [/mm] nicht.
>
> Liebe Grüße
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
f(x,y)= $ [mm] (5-2x^2-y^2)^1^/^2 [/mm] $
[mm] f(x_0,y_0)= \wurzel{5-2\cdot{}0^2-2^2}= \wurzel{1}=1
[/mm]
[mm] f_x= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-4x)= -2x\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2*0}{\wurzel{5-2*0^2-2^2}}=0
[/mm]
[mm] f_x_x=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-4x)+(-2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= [/mm]
[mm] (-4x^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-2\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= [/mm]
[mm] \bruch{-4x^2-2\cdot{} \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-4*0^2-2\cdot{} \wurzel{(5-0^2-2^2)}}{\wurzel{(5-0^2-2^2)}^3}= [/mm] -2
[mm] f_y= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-2y)= -y\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2}{\wurzel{5-2*0^2-2^2}}=-2
[/mm]
[mm] f_y_y=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-y)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)+(-1)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] (-y^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-y^2\cdot{} \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}
[/mm]
Bez. dem * und minus in ich jetzt verwirrt. Wieso schreibe ich da * und nicht minus?
[mm] f_y_y(x_0,y_0)= \bruch{-4*\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}= [/mm] -4
[mm] f_x_y= -\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)= [/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}4xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2= [/mm]
[mm] -2xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2= [/mm]
[mm] \bruch{-2xy}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-2*0*2}{\wurzel{1}^3}= [/mm] 0
[mm] T_2=1+0*(x-0)+(-2)*(y-2)+\bruch{1}{2!}*[(-2)*(x-0)^2+2*0*(x-0)(y-2)+(-4)*(y-2)^2]=
[/mm]
[mm] 1+0+(-2y)+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2+(-4)*(y^2-4y+4)]=
[/mm]
[mm] 1+0-2y+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2+(-4y^2+16-16)]=
[/mm]
[mm] 1+0-2y+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2-4y^2+16y-16]=
[/mm]
[mm] 1+0-2y+4+[-\bruch{2x^2}{2}-\bruch{4y^2}{2}+\bruch{16y}{2}-\bruch{16}{2}]=
[/mm]
[mm] 1-2y+4-x^2-2y^2+8y-8=
[/mm]
[mm] 1-(2*2)+4-\bruch{2*2^2}{2}+8*2-8=
[/mm]
1-4+4-4+16-8 = -5
So, ich hoffe soweit passt das nun
Danke für eure Hilfe! 
|
|
|
| |
|
Hallo Marie886,
> f(x,y)= [mm](5-2x^2-y^2)^1^/^2[/mm]
>
> [mm]f(x_0,y_0)= \wurzel{5-2\cdot{}0^2-2^2}= \wurzel{1}=1[/mm]
>
> [mm]f_x= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-4x)= -2x\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2*0}{\wurzel{5-2*0^2-2^2}}=0[/mm]
>
>
> [mm]f_x_x=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-4x)+(-2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm](-4x^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-2\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{-4x^2-2\cdot{} \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-4*0^2-2\cdot{} \wurzel{(5-0^2-2^2)}}{\wurzel{(5-0^2-2^2)}^3}=[/mm]
> -2
>
> [mm]f_y= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-2y)= -y\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2}{\wurzel{5-2*0^2-2^2}}=-2[/mm]
>
> [mm]f_y_y=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-y)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)+(-1)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm](-y^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-y^2\cdot{} \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}[/mm]
>
> Bez. dem * und minus in ich jetzt verwirrt. Wieso schreibe
> ich da * und nicht minus?
>
Der Ausdruck
[mm] (-y^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2[/mm]
ist nur falsch zusammengefasst worden.
> [mm]f_y_y(x_0,y_0)= \bruch{-4*\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}=[/mm] -4
>
Vorherige Berechnung hat gestimmt.
> [mm]f_x_y= -\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)=[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}\cdot{}4xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=[/mm]
> [mm]-2xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2xy}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-2*0*2}{\wurzel{1}^3}=[/mm]
> 0
>
>
> [mm]T_2=1+0*(x-0)+(-2)*(y-2)+\bruch{1}{2!}*[(-2)*(x-0)^2+2*0*(x-0)(y-2)+(-4)*(y-2)^2]=[/mm]
Mit einer -5 statt der -4 passt das.
> [mm]1+0+(-2y)+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2+(-4)*(y^2-4y+4)]=[/mm]
> [mm]1+0-2y+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2+(-4y^2+16-16)]=[/mm]
> [mm]1+0-2y+4+\bruch{1}{2}*[-2x^2-4y^2+16y-16]=[/mm]
>
> [mm]1+0-2y+4+[-\bruch{2x^2}{2}-\bruch{4y^2}{2}+\bruch{16y}{2}-\bruch{16}{2}]=[/mm]
> [mm]1-2y+4-x^2-2y^2+8y-8=[/mm]
> [mm]1-(2*2)+4-\bruch{2*2^2}{2}+8*2-8=[/mm]
> 1-4+4-4+16-8 = -5
>
> So, ich hoffe soweit passt das nun
>
> Danke für eure Hilfe!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke danke
hier nun die richtiggestellte Rechnung
f(x,y)= $ [mm] (5-2x^2-y^2)^1^/^2 [/mm]
[mm] f(x_0,y_0)= \wurzel{5-2\cdot{}0^2-2^2}= \wurzel{1}=1
[/mm]
[mm] f_x= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-4x)= -2x\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2\cdot{}0}{\wurzel{5-2\cdot{}0^2-2^2}}=0 [/mm]
[mm] f_x_x=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-4x)+(-2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] (-4x^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2-2\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-4x^2-2\cdot{} \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-4\cdot{}0^2-2\cdot{} \wurzel{(5-0^2-2^2)}}{\wurzel{(5-0^2-2^2)}^3}= [/mm] -2
[mm] f_y= \bruch{1}{2}\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2\cdot{}(-2y)= -y\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2= \bruch{-2}{\wurzel{5-2\cdot{}0^2-2^2}}=-2 [/mm]
[mm] f_y_y=-\bruch{1}{2}\cdot{}(-y)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)+(-1)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] (-y^2)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2- 1*(5-2x^2-y^2)^-^1^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-y^2\ -1* \wurzel{(5-2x^2-y^2)}}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3} [/mm]
[mm] f_y_y(x_0,y_0)= \bruch{-4\ -1*\wurzel{1}}{\wurzel{1}^3}=-5
[/mm]
[mm] f_x_y= -\bruch{1}{2}\cdot{}(-2x)\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2\cdot{}(-2y)=
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}4xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=
[/mm]
[mm] -2xy\cdot{}(5-2x^2-y^2)^-^3^/^2=
[/mm]
[mm] \bruch{-2xy}{\wurzel{(5-2x^2-y^2)}^3}=\bruch{-2\cdot{}0\cdot{}2}{\wurzel{1}^3}= [/mm] 0
[mm] T_2=1+0\cdot{}(x-0)+(-2)\cdot{}(y-2)+\bruch{1}{2!}\cdot{}[(-2)\cdot{}(x-0)^2+2\cdot{}0\cdot{}(x-0)(y-2)+(-5)\cdot{}(y-2)^2]=
[/mm]
[mm] 1+0+(-2y)+4+\bruch{1}{2}\cdot{}[-2x^2+(-5)\cdot{}(y^2-4y+4)]=
[/mm]
[mm] 1+0-2y+4+\bruch{1}{2}\cdot{}[-2x^2+(-5y^2+20y-20)]= [/mm]
[mm] 1+0-2y+4+\bruch{1}{2}\cdot{}[-2x^2-5y^2+20y-20]= [/mm]
[mm] 1+0-2y+4+[-\bruch{2x^2}{2}-\bruch{5y^2}{2}+\bruch{20y}{2}-\bruch{20}{2}]= [/mm]
[mm] 1-2y+4-x^2-\bruch{5y^2}{2}+10y-10= [/mm]
1- [mm] (2*2)+4-0^2-10+20-10
[/mm]
1-4+4-10+20-10=1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Do 13.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Wie verschwinden da denn x und y? Das sind doch nicht [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$. [/mm] Die lässt Du da brav stehen, damit Du eine Funktion in x und y hast, die sich an die Orginalfunktion im Punkt [mm] $x_0 [/mm] / [mm] y_0$ [/mm] anschmiegt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 20.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
Wo soll ich den x und y stehen lassen? Verstehe es grad nicht.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 20.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Das Taylorpolynom ist eine Funktion. Wenn Du x und y einsetzt, dann hast Du nur noch einen Funktionswert. Diese Funktion passt gut an die Ausgangsfunktion in einem Punkt. Dieser Punkt heißt [mm] $x_0, y_0$.
[/mm]
Zeichne eine Sinusfunktion, zeichne eine Parabel, die sich an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] an diese Sinusfunktion anschmiegt. Der Sinus ist die Funktion f(x). Die Parabel ist das Taylorpolynom T(x). In der Nähe des Berührpunkts [mm] $x_0$ [/mm] ist die Parabel eine gute Näherung für den Sinus. Aber dennoch ist die Parabel eine Funktion von x.
|
|
|
|
