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TF einer CF im Banachraum: Induktionsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mi 18.11.2009
Autor: Tina85

Aufgabe
Sei A ein Banachraum und [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in A.
Man finde nun mittels Induktion eine Teilfolge, deren aufeinanderfolgende Elemente einen Abstand kleiner [mm] 2^{-j} [/mm] haben.

Hallo zusammen!

Die Induktion sollte ja vermutlich über j laufen, oder?
Aber was ist überhaupt meine Induktions-Aussage, die ich beweisen will?
Bzw. der Induktionsanfang?

Wär super, wenn mir da jemand ein paar Hinweise geben könnte :)

Grüße,
Tina







Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
TF einer CF im Banachraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Do 19.11.2009
Autor: fred97

Da [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, ex ein Index [mm] n_1 [/mm] mit:

                   [mm] $||a_n-a_{n_1}|| [/mm] < 1/2$   für n [mm] \ge n_1 [/mm]

Aus dem gleichen Grund ex. ein Index [mm] n_2 [/mm] > [mm] n_1 [/mm] mit:

                   [mm] $||a_n-a_{n_2}|| [/mm] < [mm] 1/2^2$ [/mm]   für n [mm] \ge n_2 [/mm]

etc... . Jetzt bist Du dran !

FRED

Bezug
                
Bezug
TF einer CF im Banachraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:21 Do 19.11.2009
Autor: Tina85

Guten Morgen!

Erst mal Danke für deine Hilfe :)

Meine Induktionsbehauptung ist doch:
Ich finde Indizes [mm] n_{1} [/mm] < [mm] n_{2} [/mm] < [mm] n_{3} [/mm] < ... < [mm] n_{j} [/mm] , so dass für alle j [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vmat{ a_{n_{j+1}}-a_{n_{j}} } [/mm] < [mm] \epsilon_{j} [/mm] = 2^-j

Induktionsanfang ist das, was du gemacht hast.

Induktionsannahme ist, dass die Aussage für j gilt.

Der Induktionsschritt ist mein Problem:
Sei [mm] \epsilon_{j+1}= 2^{-(j+1)}, [/mm] dann finde ich ein [mm] n_{j+1} [/mm] so dass [mm] \vmat{ a_{n}-a_{n_{j+1}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+1} [/mm] für n [mm] \ge n_{j+1} [/mm]

Ebenso finde ich zu  [mm] \epsilon_{j+2}= 2^{-(j+2)}, [/mm] ein [mm] n_{j+2} [/mm] > [mm] n_{j+1} [/mm] so dass [mm] \vmat{ a_{n}-a_{n_{j+2}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+2} [/mm] für n [mm] \ge n_{j+2} [/mm]

Und damit würde ja wegen [mm] n_{j+2} [/mm] > [mm] n_{j+1} [/mm]  gelten:
[mm] \vmat{ a_{n_{j+2}}-a_{n_{j+1}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+1} [/mm]

Aber irgendwie fehlt mir hier der eigentliche Induktionsschritt, oder??

Liebe Grüße,
Tina


Bezug
                        
Bezug
TF einer CF im Banachraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Do 19.11.2009
Autor: fred97

Die Induktion mußt Du anders machen:

Zunächst die folgende

Behauptung: es gibt eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit:

          (*)        [mm] $||a_n-a_{n_k}|| <1/2^k$ [/mm] für n [mm] \ge n_k [/mm]

Beweis (induktiv)

Ind.-Anfang:  habe ich oben schon gemacht

Ind. Vor: Sei k [mm] \in \IN [/mm] und wir haben konstruiert [mm] n_1
                  [mm] $||a_n-a_{n_j}|| <1/2^k$ [/mm] für n [mm] \ge n_j [/mm]     (j = 1,2, ..., k)

Ind. Schritt:Da [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, ex ein [mm] n_{k+1}>n_k [/mm] mit

                    [mm] $||a_n-a_{n_{k+1}}|| <1/2^{k+1}$ [/mm] für n [mm] \ge n_{k+1} [/mm]

Beweisende.


Damit haben wir eine Teilfolge  [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit der Eigenschaft (*) gebastelt.

Ist nun k [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] n_{k+1}>n_k [/mm] , also folgt aus (*)

                     [mm] $||a_{n_{k+1}}-a_{n_k}|| <1/2^k$ [/mm]

FRED

Bezug
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