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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 16.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Leute,
ich versuche grad einen verständlichen Beweis für Normalgleichungen zu finden und irgendwie sind bei allen irgendwelche Stellen, die ich nicht nachvollziehen kann.
Deshalb versuche ich es erstmal für den Beweis aus meinem Skript:
Aus einem Satz [mm] \IK^n = ker(A^H) \perp range(A) [/mm]
folgt
[mm] \exists b_1 \in range(A), b_2\in ker(A^H) : b = b_1 + b_2. [/mm]
Dann gilt:
[mm] Ax-b_1 \perp b_2
\Rightarrow ||Ax-b||^2_2 = ||Ax-b_1-b_2||^2_2 = ||Ax-b_1||^2_2 + ||b_2||^2_2
\Rightarrow ||Ax-b||_2 [/mm] minimal [mm] \gdw Ax-b_1 = 0
\Rightarrow A^HAx=A^Hb \gdw (A^H(Ax-b_1))=0
\Rightarrow Ax-b_1 \in ker(A^H) \Rightarrow Ax-b_1=0
\gdw A^HAx=A^Hb [/mm]
Meine erste Frage ist schon, wieso gilt, dass
[mm] \Rightarrow ||Ax-b||_2 [/mm] minimal [mm] \gdw Ax-b_1 = 0 [/mm] ?
Das würde ja bedeuten, dass ich weiß, dass [mm] \gdw Ax-b_1 > b_2 [/mm]. Hat das was mit dem Kern oder dem Bild zu tun?
Und dann ist in der letzten Zeile angegeben, dass der letzte Schritt herauskommt, weil [mm] b_2 [/mm] aus dem Kern ist und [mm] Ax-b_1 [/mm] sowohl aus dem Kern als auch aus range(A) ist.
Wie sind also die Begründungen, dass ich auch die letzte Gleichung komme? Es muss ja irgendwie mit dem kern und dem range zutun haben, oder?
Ich hoffe, ihr wisst was ich meine und dass ihr mir helfen könnte.
Viele Grüße und vielen Dank,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
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> ich versuche grad einen verständlichen Beweis für
> Normalgleichungen zu finden und irgendwie sind bei allen
> irgendwelche Stellen, die ich nicht nachvollziehen kann.
> Deshalb versuche ich es erstmal für den Beweis aus meinem
> Skript:
>
> Aus einem Satz [mm]\IK^n = ker(A^H) \perp range(A)[/mm]
> folgt
> [mm]\exists b_1 \in range(A), b_2\in ker(A^H) : b = b_1 + b_2.[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm]Ax-b_1 \perp b_2
\Rightarrow ||Ax-b||^2_2 = ||Ax-b_1-b_2||^2_2 = ||Ax-b_1||^2_2 + ||b_2||^2_2
\Rightarrow ||Ax-b||_2[/mm]
> minimal [mm]\gdw Ax-b_1 = 0
\Rightarrow A^HAx=A^Hb \gdw (A^H(Ax-b_1))=0
\Rightarrow Ax-b_1 \in ker(A^H) \Rightarrow Ax-b_1=0
\gdw A^HAx=A^Hb[/mm]
>
> Meine erste Frage ist schon, wieso gilt, dass
> [mm]\Rightarrow ||Ax-b||_2[/mm] minimal [mm]\gdw Ax-b_1 = 0[/mm] ?
Setze mal
$f(x):= [mm] ||Ax-b||^2_2 [/mm] $
Dann ist
$f(x) [mm] =||Ax-b_1||^2_2 [/mm] + [mm] ||b_2||^2_2 \ge ||b_2||^2_2$
[/mm]
und
[mm] $f(x)=||b_2||^2_2$ \gdw ||Ax-b_1||^2_2=0 \gdw $Ax=b_1$
[/mm]
> Das würde ja bedeuten, dass ich weiß, dass [mm]\gdw Ax-b_1 > b_2 [/mm].
Das ist doch Unfug !!! Ax, [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] sind doch Elemente des [mm] \IK^n. [/mm] Was soll dann das ">" ????
> Hat das was mit dem Kern oder dem Bild zu tun?
>
> Und dann ist in der letzten Zeile angegeben, dass der
> letzte Schritt herauskommt, weil [mm]b_2[/mm] aus dem Kern ist und
> [mm]Ax-b_1[/mm] sowohl aus dem Kern als auch aus range(A) ist.
>
> Wie sind also die Begründungen, dass ich auch die letzte
> Gleichung komme? Es muss ja irgendwie mit dem kern und dem
> range zutun haben, oder?
Aus [mm] $Ax=b_1$ [/mm] folgt [mm] A^HAx=A^Hb_1=A^H(b-b_2)=A^Hb-A^Hb_2=A^Hb, [/mm] denn [mm] b_2 \in ker(A^H).
[/mm]
FRED
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> Ich hoffe, ihr wisst was ich meine und dass ihr mir helfen
> könnte.
>
> Viele Grüße und vielen Dank,
>
> Katthi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 16.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Danke dir :)
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