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Symmetrische Differenz: Sachverhalt Beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Di 14.11.2006
Autor: Norman

Aufgabe
a) [mm] A\cap [/mm] (B [mm] \oplus [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
b)(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \oplus C)\cap [/mm] (B [mm] \oplus [/mm] d)
c)(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \oplus [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)

Ich komme da jetzt aber nicht weiter und weißt nicht wie ich zeigen soll das die Linke seite gleich der Rechten entspricht

Ich weis einfach nicht wie ich das Beweisen soll. Bei a) habe ich glaube ich sogar einen Ansatz der folgendermaßen aussieht:

A [mm] \cap [/mm] ( B \ C v C \ B) = (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C) v (A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B)

A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cap \neg [/mm] C v [mm] \cap \neg [/mm] B) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \neg [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)) v (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cap C)\cap (\neg( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B))

A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cap \neg [/mm] C) v A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cap \neg [/mm] B) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\neg [/mm] A [mm] \cup \neg [/mm] B) v (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap (\neg [/mm] A [mm] \cup \neg [/mm] B)

        
Bezug
Symmetrische Differenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 15.11.2006
Autor: angela.h.b.


> a) [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)

Hallo,

die Aussage beinhaltet zweierlei:

1. [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)

2. (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm] \subseteq[/mm]  [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)

Solche Teilmengenbeziehungen beweist man, indem man zeigt, daß jedes Element der ersten Menge auch in der zweiten liegt.

Ich mache Dir das für 1. vor:

Sei x [mm] \in[/mm]  [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)

==> x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)

==> x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B \ C) [mm] \cup [/mm] (C \ B)

==> x [mm] \in [/mm] A und (x [mm] \in [/mm] (B \ C) oder x [mm] \in [/mm] (C \ B))

==>  (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B \ C) ) oder (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (C \ B))

==> ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] C) oder ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] B)

==>( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C)oder ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)

==>(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C) oder (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)

==> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C) oder x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B)

==> x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \cup [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B))

==> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)

Gruß v. Angela

Bezug
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