Symmetrische Differenz < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 14.11.2006 | | Autor: | Norman |
| Aufgabe | a) [mm] A\cap [/mm] (B [mm] \oplus [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
b)(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \oplus C)\cap [/mm] (B [mm] \oplus [/mm] d)
c)(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \oplus [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)
Ich komme da jetzt aber nicht weiter und weißt nicht wie ich zeigen soll das die Linke seite gleich der Rechten entspricht |
Ich weis einfach nicht wie ich das Beweisen soll. Bei a) habe ich glaube ich sogar einen Ansatz der folgendermaßen aussieht:
A [mm] \cap [/mm] ( B \ C v C \ B) = (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C) v (A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B)
A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cap \neg [/mm] C v [mm] \cap \neg [/mm] B) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \neg [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)) v (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cap C)\cap (\neg( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B))
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cap \neg [/mm] C) v A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cap \neg [/mm] B) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\neg [/mm] A [mm] \cup \neg [/mm] B) v (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap (\neg [/mm] A [mm] \cup \neg [/mm] B)
|
|
| |
|
> a) [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
Hallo,
die Aussage beinhaltet zweierlei:
1. [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
2. (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\oplus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm] \subseteq[/mm] [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)
Solche Teilmengenbeziehungen beweist man, indem man zeigt, daß jedes Element der ersten Menge auch in der zweiten liegt.
Ich mache Dir das für 1. vor:
Sei x [mm] \in[/mm] [mm]A\cap[/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)
==> x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B [mm]\oplus[/mm] C)
==> x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B \ C) [mm] \cup [/mm] (C \ B)
==> x [mm] \in [/mm] A und (x [mm] \in [/mm] (B \ C) oder x [mm] \in [/mm] (C \ B))
==> (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (B \ C) ) oder (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] (C \ B))
==> ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] C) oder ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] B)
==>( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C)oder ( x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)
==>(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C) oder (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)
==> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C) oder x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B)
==> x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \cup [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B))
==> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \oplus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
