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| Aufgabe | Gegeben sei ein $n$-Eck [mm] $P_n$ [/mm] in der Ebene. Zeigen Sie:
a) Jede Symmetrieabbildung [mm] $f\in Sym(P_n)$ [/mm] ist entweder eine Drehung oder eine Spiegelung.
(Hinweis: Sie dürfen für den Beweis die folgende Aussage benutzen: Jede Isometrie der Ebene ist durch die Bildpunkte von drei Punkten festgelegt, welche nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.)
b) [mm] $Sym(P_n)$ [/mm] besitzt höchstens $2n$ Elemente.
c) Besitzt [mm] $Sym(P_n)$ [/mm] genau $2n$ Elemente, so ist [mm] $P_n$ [/mm] ein regelmäßiges $n$-Eck.
d) Wir bezeichnen die Symmetriegruppe des regelmäßigen $n$-Ecks mit [mm] $D_n$. [/mm] Untersuchen Sie für die Fälle $n=3$ und $n=4$ die folgende Frage: Für welche Untergruppen $H$ von [mm] $D_n$ [/mm] gibt es ein $n$-Eck [mm] $P_n$, [/mm] für das [mm] $Sym(P_n)$ [/mm] isomorph zu $H$ ist. |
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Hallo!
Ich bin bei dieser Aufgabe leider völlig ansatzlos.
Kann ich bei a) in irgendeiner Form einen Widerspruchsbeweis führen?
Annehmen $f$ sei weder Spiegelung noch Drehung und damit zeigen, dass die Voraussetzung aus dem Hinweis verletzt wird? Wenn ja, wie fange ich am Besten an?
Bei b) habe ich erst überlegt eine Induktion über Verknüpfungstafeln zu führen, bin damit aber gescheitert. Als nächsten Ansatz habe ich überlegt, ob man (wie vielleicht auch bei Teil c) über die Ordnung etwas beweisen kann, bin daran aber ebenfalls gescheitert.
Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank!
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Hallo,
a)
bedenke, dass Kanten wieder auf kanten abgebildet werden müssen.
D.h. insbesondere die Bildpunkte zweier nebeneinanderliegender Punkte liegen wieder nebeneinander.
Und je nachdem ob sich die "Richtung" der Kante geändert hat ist es eine Drehung oder Spiegelung.
b)
Rein aus Kuriosität:
Was ist eine Induktion über Verknüpfungstafeln ?
Es geht hier ziemlich einfach: Zählen,
Wie viele Drehungen gibt es höchsten, wie viele Spiegelungen?
c)
die Ordnung von was in was?
Man könnte z.B. über die Ordnung der Drehungen argumentieren und damit die Drehwinkel bstimmen.
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