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Also ich habe Fragen zur Punktsymmetrie, die nicht am Urspruing ist. Wie erkennt man denn die Punktsymmetrie und wie bekommt man den gesuchten Punkt heraus, zu dem die Funktion symmetrisch ist.
Des weiteren wie ist die Symmetrie in der Geometrie, in der Analysis ist mir das klar. Es gibt ja nur Punkt- oder Achsnesymmetrie.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte!!
Grüße
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Julia!
Wie man nun direkt den Symmetriepunkt erkennt, kann ich Dir nicht sagen. Aber dieser ergibt sich auch aus einer entsprechenden Kurvendiskussion, wenn nun z.B. ein Hoch- und ein Tiefpunkt existiert (Beispiel: Polynom 3. Grades). Dann ist ein Kandidat für diesen Symmetriepunkt genau in der Mitte zwischen diesen beiden Extremas.
Um nun die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt $P \ ( \ [mm] \red{a} [/mm] \ | \ [mm] \blue{b} [/mm] \ )$ nachzuweisen, gilt folgende Formel (siehe auch in der  MatheBank):
[mm] [quote]$f(\red{a}+x)+f(\red{a}-x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{b}$[/quote]
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Danke schon einmal für deine Hilfe, ich habe aber noch eine Frage zu der Formel:
Warum ist es 2*b???
Wie leitet man das her??
f(a+x)+f(a-x)=2*b
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Hallo Julia!
Mach Dir mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und wenn man sich diese nun etwas genauer ansieht und auch beschriftet (was ich hier nun ausgelassen habe  ...), sollte man folgende Beziehung feststellen:
$f(a-x)-b \ = \ b-f(a+x)$
Also die Differenz links des Symmetriepunkteszwischen den Funktionswerten von Kurve [mm] $f(a\red{-}x)$ [/mm] und Symmetriepunkt $b_$ ist genauso groß (nur mit umgekehrtem Vorzeichen, warum?) wie die Differenz der Funktionswerte rechts vom Symmetriepunkt, also $b_$ und [mm] $f(a\red{+}x)$ [/mm] .
Obige Gleichung dann umgestellt, ergibt die Formel mit $2*b_$ in meiner obigen Antwort.
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Dankeschön für das gute erklären.
Noch eine weitere Frage, die du mir vielleicht beantworten kannst:
Wie ist das Ganze denn im Dreidimensionalen Raum, gibt es da auch Symmetrie??
Ich weiß, dass der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen die Flächensymmetrie im Dreidimensionalen, der Punktsymmetrie die Achsensymmetrie entspricht, aber wie erklärt sich das??
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 16.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Julia,
bei der Symmetrie im dreidimensionalen muss man etwas sortieren.
Ich nehme mal an, dass Du dies auf Funktionen z=f(x,y) beziehst.
Wenn man von 2-D in 3-D erweitert, dann sollte man das so machen, dass man in 3-D die 2-D Situation als Spezialfall wiederfindet.
Also wird zuerst mal die Ausgangsfunktion in 2-D umgeschrieben, so dass sie z=f(x,0) heißt. Das y wird ja als zweite Eingangsvariable benötigt. Dann soll alles wie bisher gelten, also Punktsymmetrie f(x,0) = - f(-x,0), Achsensmmetrie f(x,0) = f(-x,0).
Nun kommt es darauf an, was man mit dem y macht, das bisher =0 war.
In der grafischen Darstellung sei das nun die neue Achse, die nach "hinten" zeigt. Eine Möglichkeit ist, das man sich eine neue x/z-Ebene wählt und alles soll so wie vorher sein. Zum Beispiel die Ebene bei y = 2.
Dann gilt Punktsymmetrie f(x,2) = - f(-x,2), Achsensmmetrie f(x,2) = f(-x,2).
Verallgemeinert: Punktsymmetrie f(x,y) = - f(-x,y), Achsensmmetrie f(x,y) = f(-x,y). Dann sieht man, dass die y-Achse zur Symmetrieachse geworden ist, bzw. die y-z-Ebene zur Spiegelebene.
Das ist aber nur eine Möglichkeit. Man kann auch den Ursprung als Zentrum für eine Punktsymmetrie um die z-Achse wählen. Dann soll gelten: f(x,y) =
- f(-x,-y) Dann liegt immer die Z-Achse in den Schnittebenen, in denen man den 2-D Fall findet. Ebenso für die Achsensymmtrie: f(x,y) = f(-x,-y).
Oder eine Rotationssymmtrie um die z-Achse.....
In drei Dimensionen geht es richtig los!
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