Symm. Matrix positiv Definit < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Sa 17.11.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | a)Bestimmen sie alle Werte von a, für die die Matrix A positiv definit ist.
b)Bestimmen sie für die Fälle aus a) die Cholesky Zerlegung
[mm]A=\vmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -a & 0 \\ 0 & -a & 2 & -1\\ 0 & 0 &-1 & 2 } [/mm] |
Mein Problem hab ich schon bei Aufgabenteil a.
Da eine symmetrische Matrix positiv-Definit ist, wenn alle ihre Eigenwerte >0 sind habe ich probiert irgendwie an die Eigenwerte zu kommen...
Habe es mit der Entwicklung nach der ersten Spalte bzw. Zeile probiert und habe auch den Gaußalgorithmus probiert aber immer werden die Terme ziemlich lang und absolut unübersichtlich.
Mal als Beispiel: Durch die Entwicklung nach der ersten Spalte habe ich als Determinante für [mm]A-\lambdaE[/mm] heraus :
[mm]Det(A-\lambdaE)= -\lambda^3 + 5\lambda^2 + \lambda(a^2-7)-2a^2+3[/mm]
Und damit kann ich nicht so viel anfangen :((
Gibts ne andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Sa 17.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Idee ist doch schon mal nicht schlecht;
Eine quadratische symmetrische Matrix ist
positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind.
Dein Eigenwert ist [mm] \lambda. [/mm] Und um [mm] \lambda [/mm] zu berechnen, musst du
[mm] det(A-\lambda{)}=0 [/mm] berechnen; wähle dann a so, dass deine [mm] \lambda{>0} [/mm] sind.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 17.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Genau das habe ich probiert leider bekomm ich da eine Determinante raus mit der ich absolut nichts anfangen kann, denn :
[mm]Det(A-\lambda E) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 + \lambda(a^2-7)-2a^2+3 [/mm]
Und wenn ich da nun probiere die lambdas zu berechnen kann ich einpacken :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Blech |
Du könntest den Trägheitssatz von Sylvester verwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Sa 17.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast Recht, das will man nicht berechnen.
Neues Stichwort: Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind.
Sprich:
[mm] \vmat{ 2 }>0 [/mm] stimmt!
[mm] \vmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }>0 [/mm] stimmt!
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -a \\ 0 & -a & 2}>0 \gdw [/mm] a=... (für welche a stimmt das?)
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -a & 0 \\ 0 & -a & 2 & -1\\ 0 & 0 &-1 & 2 }>0 [/mm] für welche a stimmt das?
Gilt für alle Hauptminoren (du musst die Determinanten berechnen) > 0, so ist die Matrix A positiv definit. Zugegeben, auch nicht gerade einfach, aber wenigstens ist nur noch a als Variable im Spiel und kein [mm] \lambda [/mm] mehr.
MfG und viel Erfolg barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Sa 17.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Das sieht gut aus die Determinante ist dann ja kein Problem :)
Danke für die Hilfe !
Gruß
marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Blech |
Man sollte nie Determinanten verwenden, wenn es nicht unbedingt sein muß. =)
Der Trägheitssatz führt schneller zum Ziel und der Vorteil würde umso krasser, je größer die Matrix wird.
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Hallo zusammen,
Man könnte natürlich auch auf Aufgabe b) schielen und wissen, dass diese Matrix positiv definit ist wenn die ![[]](/images/popup.gif) Cholesky-Zerlegung existiert. Also wäre eigentlich erst die Aufgabe b) zu bearbeiten sinnvoller 
viele Grüße
mathemaduenn
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