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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ich hätte eine Frage, und zwar, wie beweise ich, dass es genau zwei nichtabelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt?
Bei Gruppen der Ordnung 6 kann icht das irgendwie nachvollziehen, weil man die Primzahlen 2 und 3 hat. Bei Ordnung 8 aber nur die 2.
Vielen Dank
Peti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Ist $G$ eine Gruppe der Ordnung $8$, so gibt es mindestens eine Element $a [mm] \in [/mm] G$ der Ordnung $4$.
Denn ansonsten wäre für alle [mm] $x,y\in [/mm] G$: [mm] $x^2=e$, $y^2=e$, $(xy)^2=e$ [/mm] und somit:
[mm] $xxyy=x^2y^2=e [/mm] = xyxy$,
also:
$xy=yx$,
d.h. $G$ wäre abelsch.
Dann ist [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] ein Normalteiler in $G$, d.h. man hat für $b [mm] \notin \langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] die Zerlegung:
$G = [mm] \{e,a,a^2,a^3\} \cup \{b,ab,a^2b,a^3b\}$.
[/mm]
Man zeigt leicht:
$ba=a^3b$,
da alle anderen Annahmen zum Widerspruch führen
(etwa: $ba=a^2b [mm] \quad \Rightarrow \quad b=a^2ba^3 \quad \Rightarrow \quad a^2ba=b=a^2ba^2 \quad \Rightarrow \quad a^2=e$).
[/mm]
Dies führt zu:
[mm] $(ab)^2=abab=aa^3bb=b^2$.
[/mm]
Der einzige Freiheitsgrad, der noch bleibt, ist die Frage
$ord(b)=2$ oder $ord(b)=4$.
Dies liefert die beiden nicht-abelschen Gruppen.
Im ersten Fall ist $G$ isomorph zur Diedergruppe [mm] $D_4$, [/mm] im zweiten Fall zur Quaternionengruppe.
Viele Grüße
Julius
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