Sylowgruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:56 So 12.11.2006 | | Autor: | Berti |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle p-Sylowgruppen der [mm] S_{5} [/mm] und der [mm] D_{n}
[/mm]
|
Hallo, vielleicht kann mir jemand an einem Beispiel zeigen, wie man Sylowgruppen bestimmt. Ich habe die Definition vor mir liegen und die bringt mich einfach nicht weiter, da ich sie nicht richtig verstehe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 13.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Berti
z.B. [mm] $S_5$
[/mm]
[mm] $S_5$ [/mm] hat 120 Elemente und [mm] $120=2^3\cdot 3\cdot [/mm] 5$.
[mm] $S_5$ [/mm] besitzt daher eine 2-Sylowuntergruppe der Ordnung 8, eine 3-Sylowuntergruppe der Ordnung 3 und eine 5-Sylowuntergruppe der Ordnung 5.
Gruppen der Ordnung 3 und 5 sind einfach, du musst nur Elemente von [mm] $S_5$ [/mm] finden, die die Ordnung 3 und 5 haben, diese erzeugen dann zyklische Untergruppen der Ordnung 3 rsp. 5.
Für die 2-Sylowuntegruppe würde ich folgendes beachten: [mm] $S_4$ [/mm] ist eine Untegruppe von [mm] $S_5$ [/mm] und [mm] $S_4$ [/mm] enthält 24 Elemente. Daher besitzt [mm] $S_4$ [/mm] eine 2-Sylowuntergruppe der Ordnung 8, die dann automatisch auch 2-Sylowuntergruppe von [mm] $S_5$ [/mm] ist. Ich würde daher in [mm] $S_4$ [/mm] suchen.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Berti |
Danke das hilft mir schon weiter. Also haben die Untergruppen immer die Ordnungen der Faktoren bei der Primfaktorzelegung wenn ich das richtig verstanden habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 14.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Bertie
Ja die Ordnung der p-Sylowuntergruppe ist die höchste p-Potenz, die die Gruppenordnung teilt.
mfg Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Fr 09.02.2007 | | Autor: | demo |
> z.B. [mm]S_5[/mm]
> [mm]S_5[/mm] hat 120 Elemente und [mm]120=2^3\cdot 3\cdot 5[/mm].
> [mm]S_5[/mm] besitzt daher eine 2-Sylowuntergruppe der Ordnung 8,
> eine 3-Sylowuntergruppe der Ordnung 3 und eine
> 5-Sylowuntergruppe der Ordnung 5.
Warum habt die 3-Sylowgruppe Ordnung 3 und die 5 Ordnung 5? ICh verstehe die Erklärung mit der höchsten Potenz nicht.
> Gruppen der Ordnung 3 und 5 sind einfach,
Warum sind diese einfach?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Fr 09.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo demo
Eine p-Sylowuntergruppe einer endlichen Gruppe hat immer eine p-Potenz als Ordnung, und zwar die höchste p-Potenz, die die Gruppenordnung teilt.
Eine 3-Sylowuntergruppe einer Gruppe G der Ordnung 120 hat notwendigerweise 3 Elemente, weil [mm] $3^1=3$ [/mm] ein Teiler von 120 ist, aber [mm] $3^2=9$ [/mm] nicht.
>
> > Gruppen der Ordnung 3 und 5 sind einfach,
>
> Warum sind diese einfach?
Ich meinte hier, dass Untergruppen der Ordnung 3 und 5 einfach zu bestimmen sind. Denn solche Gruppen sind zyklisch (und damit einfach im Sinne der Gruppentheorie), man muss daher nur ein Element finden, dass die Ordnung 3 hat, das erzeugt dann automatisch eine Untergruppe der Ordnung 3 (analog für 5).
mfG Moudi> > z.B.
|
|
|
|
