Surjektivität lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 09.12.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | Ist L injektiv/bijektiv/surjektiv?
L: [mm] R_{\le4}[x] \rightarrow R^{2,2}
[/mm]
[mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \mapsto \pmat{2c+e&a-2c-e\\a&-a} [/mm] |
Hey,
ich möchte diese Funktion auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität prüfen.
Ich hab vorher schon den Kern ausgerechnet, welcher der Span 3er Elemente ist, folglich ist die Matrix weder Injektiv, noch Bijektiv.
Wie jedoch prüfe ich die Surjektivtät? Kann ich hier irgendwie über die Dimensionen von V und W (L: V [mm] \rightarrow [/mm] W) argumentieren?
Dim(L)=5 dim(Bild)=2 Dim(Kern)=3 Dim(W)=4
hab ich dafür schon mal ausgerechnet.
Kann ich einfach sagen: Da Dim(Bild(L)) < [mm] Dim(R^{2,2}) [/mm] ist, ist die Abbildung nicht surjektiv?
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> Ist L injektiv/bijektiv/surjektiv?
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> L: [mm]R_{\le4}[x] \rightarrow R^{2,2}[/mm]
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> [mm]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \mapsto \pmat{2c+e&a-2c-e\\
a&-a}[/mm]
>
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> Hey,
>
> ich möchte diese Funktion auf Surjektivität,
> Injektivität und Bijektivität prüfen.
>
> Ich hab vorher schon den Kern ausgerechnet, welcher der
> Span 3er Elemente ist, folglich ist die Matrix weder
> Injektiv, noch Bijektiv.
Hallo,
es geht hier um die Injektivität der Abbildung L.
Wenn der Kern Span dreier Elemente ist, ist seine Dimension [mm] \le [/mm] 3.
(Ich habe ausgerechnet, daß dim KernL=3 ist.)
>
> Wie jedoch prüfe ich die Surjektivtät? Kann ich hier
> irgendwie über die Dimensionen von V und W (L: V [mm]\rightarrow[/mm] W) argumentieren?
Ja.
Es muß ja gelten dimV=dimKernL+dimBildL,
und im Falle der Surjektivität muß sein dimBildL=dimW.
>
> Dim(L)=5
Abbildungen haben keine Dimension.
Wahrscheinlich meintest Du dimV=5.
>dim(Bild)=2 Dim(Kern)=3 Dim(W)=4
> hab ich dafür schon mal ausgerechnet.
>
> Kann ich einfach sagen: Da Dim(Bild(L)) < [mm]Dim(R^{2,2})[/mm] ist,
> ist die Abbildung nicht surjektiv?
Ja.
Du kannst allerdings auch eine Matrix angeben, auf welche kein Polynom abgebildet wird. Die untere Zeile macht es einem ja leicht.
LG Angela
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