Surjektive/Injektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Do 26.10.2006 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Seien f : X [mm] \to [/mm] Y und g : Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen. Zeigen Sie:
a) g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv [mm] \to [/mm] f ist injektiv
b) g [mm] \circ [/mm] f ist surjektiv [mm] \to [/mm] g ist surjektiv |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir sollen die Richtigkeit dieser beiden Aussagen zeigen, also beweisen. Ich bin bisher immer nur inhaltlich an das Problem herangegangen und auf keine Lösung gestoßen. Unser Vorlesender gab uns nun einen kleinen Wink: Man könne dies sehr schnell über die Definition von Injektiv/Surjektiv beweisen. Jetzt weiß ich aber immer noch nicht weiter.
Zumal ich die Definition von Injektiv auch nicht wirklich nachvollziehen kann.
Wir haben injektiv wie folgt definiert: Für alle x und x' in einer Menge X gilt: Wenn f(x) = f(x') dann gilt: x = x'.
Das versteh ich schon nicht, denn da x und x' in X sind, kann doch niemals gelten: x = x' (das hieße ja, in x treten zwei gleiche Elemente auf, das ist ja dann gar keine Funktion mehr).
Hat jemand eine Idee, wie man die Aussagen zeigen kann? Ich vermute schon, dass das irgendwie über die Definition von Surjektiv / Injektiv geht, aber ich weiß nicht wie.
Danke an euch,
Grüße,
Leader.
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> Seien f : X [mm]\to[/mm] Y und g : Y [mm]\to[/mm] Z Abbildungen. Zeigen Sie:
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> a) g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv [mm]\to[/mm] f ist injektiv
> b) g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv [mm]\to[/mm] g ist surjektiv
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> Wir sollen die Richtigkeit dieser beiden Aussagen zeigen,
> also beweisen. Ich bin bisher immer nur inhaltlich an das
> Problem herangegangen und auf keine Lösung gestoßen. Unser
> Vorlesender gab uns nun einen kleinen Wink: Man könne dies
> sehr schnell über die Definition von Injektiv/Surjektiv
> beweisen. Jetzt weiß ich aber immer noch nicht weiter.
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> Zumal ich die Definition von Injektiv auch nicht wirklich
> nachvollziehen kann.
Hallo,
wie schön!
Nein - mit schön meine ich nicht, daß es schön ist, daß Du die Definitionen nicht verstehst. Sondern daß Dir klar geworden ist, daß das der erste Schritt zur Lösung der Aufgabe ist.
Das ganze Drama startet ja bereits mit der Funktion
f: X ==> Y.
Überlegen wir, was wir hier haben: Eine Startmenge (Definitionsmenge) X und eine Zielmenge Y.
Funktion, das sagt uns: jedes [mm] x\in [/mm] X wird auf genau ein [mm] y\in [/mm] Y abgebildet.
Der Gehalt dieser Aussage ist der: zu jedem x gehört ein f(x), aber auch wirklich nur ein einziges.
Es kann also nicht gleichzeitig f(3)=937 und f(3)=-12 sein.
Ich mache mir gerne Vorstellungen und kleine Bildchen, leider bin ich ein Computeranalphabet, daher muß ich es in Worten erklären:
Mal Dir mal eine kleine Menge X auf mit Pünktchen, etwas entfernt eine etwas größere Pünktchen-Menge Y.
Funktion bedeutet: von jedem x-Pünktchen wird ein Pfeil abgeworfen (einzeichnen!) auf irgendein Ziel in der Menge Y. Aber von keinem x-Pünktchen werden zwei Pfeile abgeworfen.
Wenn Du mir bisher folgen konntest wirst Du feststellen, daß das da
>denn da x und x' in X sind, kann doch niemals gelten: x = x' (das hieße ja, >in x treten zwei gleiche Elemente auf, das ist ja dann gar keine Funktion >mehr).
Blödsinn ist, und Du bist einen Schritt weiter.
Nun zur Injektivität:
f: X --> Y Funktion.
> Wir haben injektiv wie folgt definiert: Für alle x und x'
> in einer Menge X gilt: Wenn f(x) = f(x') dann gilt: x = x'.
In Worte übersetzt: Funktionswerte gleich ==> Startwerte (Argumente) gleich.
Oder, was dasselbe aussagt: Startwerte verschieden ==> Funktionswerte verschieden.
Im Pünktchenbild erkennst Du injektive Funktionen daran, daß jeder Punkt aus der Zielmenge, sofern er überhaupt getroffen wird, nur von einem Pfeil getroffen wird.
Nun zur Sujektivität:
F ist surjektiv <==> für alle [mm] y\in [/mm] Y gibt es ein [mm] x\in [/mm] X mit f(x) = y.
In Worten: zu jedem Element der Zielmenge findet man eines der Ausgangmenge, welches darauf abgebildet wird.
Im Pünktchenbild: bei jedem y-Pünktchen landet mindestens ein Pfeil.
Nun kurz zur eigentlichen Aufgabe:
Seien f : X [mm]\to[/mm] Y und g : Y [mm]\to[/mm] Z Abbildungen. Zeigen Sie:
>
> a) g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv [mm]\to[/mm] f ist injektiv
> b) g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv [mm]\to[/mm] g ist surjektiv
Du hast drei Mengen X, Y, Z.
f bildet von X in Y ab, g von Y in Z.
Mein Tip wäre, daß Du Dir zunächst den Sachverhalt mal aufmalst mit den Bildchen, die ich so gerne mag. Drei Mengen, und die Abbildungen so, daß
g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist.
Dann mach' Dir klar, warum g [mm]\circ[/mm] f injektiv nicht funktioniert, wenn f nicht injektiv ist.
Wenn Dir das klar ist, brauchst Du es "nur noch" aufschreiben.
Bestimmt hilft dir dann auch jemand weiter. Zunächst ist wichtig, daß Du die Eigenschaften "injektiv" und "surjektiv" wirklich verstehst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 26.10.2006 | | Autor: | Leader |
Hallo Angela,
vielen Dank für die so umfangreiche Erklärung. Ich habe jetzt nicht nur die Injektivität/Surjektivität besser verstanden, sondern nach einigen Skizzen auch inhaltlich erkannt, warum die Aussagen wahr sein müssen. Vielen Dank für die Antwort!
Freundliche Grüße,
Leader.
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