Surjektive Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine surjektive Funktion.
a) Dann ist auch g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] g(x) = f(x) + 1, surjektiv.
b) Dann ist auch h: [mm] \IR \to \IR, [/mm] h(x) = f(x) + x, surjektiv.
Zeigen oder Widerlegen Sie. |
Hey,
a stimmt für mich offensichtlich und b glaube ich auch...
Prinzipiell gilt ja für Surjektivität:
f heißt surjektiv, wenn gilt: [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: f(a) = b
zu a) g(0) [mm] \to [/mm] 1, g(1) [mm] \to [/mm] 2, g(2) [mm] \to [/mm] 3, ..., [mm] g(\infty) \to \infty [/mm] +1 (wenn man das so aufschreiben kann) - reicht das als "Beweis", denke eher nicht, deswegen wollt ich euch nochmal fragen
zu b) Da könnte man ja das gleiche Spiel spielen, nur dass hier für ein x [mm] \in \IN [/mm] immer auf gerade Zahlen abgebildet wird ...
Ich glaube mein Hauptfehler ist, dass ich zu beispielhaft an die Aufgabe gehe, da ich ja von [mm] \IR \to \IR [/mm] abbilde ... und nur [mm] \IN [/mm] betrachte, wäre dankbar für jeden hilfreichen Tipp ...
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine surjektive Funktion.
>
> a) Dann ist auch g: [mm]\IR \to \IR,[/mm] g(x) = f(x) + 1,
> surjektiv.
> b) Dann ist auch h: [mm]\IR \to \IR,[/mm] h(x) = f(x) + x,
> surjektiv.
>
> Zeigen oder Widerlegen Sie.
> Hey,
>
> a stimmt für mich offensichtlich und b glaube ich auch...
Echt? Was ist für b) mit [mm]f:\IR\to\IR, x\mapsto -x[/mm]
Das ist surjektiv, aber [mm]h[/mm] ??
>
> Prinzipiell gilt ja für Surjektivität:
> f heißt surjektiv, wenn gilt: [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A: f(a) = b
Wenn f eine Abbildung von A nach B ist, ja!
>
> zu a) g(0) [mm]\to[/mm] 1, g(1) [mm]\to[/mm] 2, g(2) [mm]\to[/mm] 3, ..., [mm]g(\infty) \to \infty[/mm]
> +1 (wenn man das so aufschreiben kann) - reicht das als
> "Beweis", denke eher nicht, deswegen wollt ich euch nochmal
> fragen
Nö, das ist Kokolores, zum einen darfst du keine Bsp. hernehmen, um Aussagen zu beweisen, zum anderen bilden [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] doch von [mm]\IR\to\IR[/mm] ab.
Du musst das allg. zeigen mit der Definition von Surjektivität, die du oben aufgeschrieben hast.
Gib dir ein [mm]y\in\IR[/mm] bel. vor.
Dann musst du ein [mm]x\in\IR[/mm] angeben, so dass [mm]g(x)=y[/mm] ist.
Nutze dazu aus, dass [mm]f[/mm] nach Vor. surjektiv ist, dass es zu dem vorgelegten [mm]y\in\IR[/mm] also ein [mm]w\in\IR [/mm] gibt mit $f(w)=y$
Außerdem ist mit [mm] $y\in\IR$ [/mm] auch [mm] $y-1\in\IR$ [/mm] ...
Daraus konstruiere mal das gesuchte x
>
> zu b) Da könnte man ja das gleiche Spiel spielen, nur dass
> hier für ein x [mm]\in \IN[/mm] immer auf gerade Zahlen abgebildet
> wird ...
>
> Ich glaube mein Hauptfehler ist, dass ich zu beispielhaft
> an die Aufgabe gehe, da ich ja von [mm]\IR \to \IR[/mm] abbilde ...
> und nur [mm]\IN[/mm] betrachte,
Ja
> wäre dankbar für jeden hilfreichen
> Tipp ...
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 03.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Sorry, habs versucht, aber für mich ist a) so offensichtlich surjektiv, denn wie du gesagt hast, wenn y [mm] \in \IR, [/mm] dann auch y - 1 [mm] \in \IR [/mm] ... das ist immer noch so ein Ding, was ich in der Mathematik nicht nachvollziehen kann, wieso muiss man sowas triviales beweisen? Ich komm leider nicht drauf, wie das beweisen soll ... geschweige denn formal aufschreiben soll ...
und b) ist nicht surjektiv, hast natürlich recht, aber hier gilt das gleiche wie bei a) ich hab 0 Ahnung wie ich da einen formalen Beweis führen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 03.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Anazeug,
> Sorry, habs versucht, aber für mich ist a) so
> offensichtlich surjektiv, denn wie du gesagt hast, wenn y
> [mm]\in \IR,[/mm] dann auch y - 1 [mm]\in \IR[/mm] ... das ist immer noch so
> ein Ding, was ich in der Mathematik nicht nachvollziehen
> kann, wieso muiss man sowas triviales beweisen?
Vier Gründe, die mir spontan einfallen:
1. Zur sicheren Verifikation. Manchmal glaubt man, einen Zusammenhang erkannt zu haben und beim Beweisversuch stellt man dann fest, dass man etwas übersehen hat. So wie es dir bei deiner ursprünglichen Vermutung zu b) passiert ist. Hat man dagegen einen detaillierten korrekten Beweis gefunden, kann man sich sicher sein, dass die bewiesene Aussage stimmt.
2. Zu Mitteilungszwecken. Wenn dir etwas klar erscheint, heißt das noch lange nicht, dass es jedem klar ist. Also musst du es auch demjenigen verständlich begründen können. (Sei froh über diese Anforderung! Stell dir vor, Professoren würden in Vorlesungen alles, was für ihr Niveau trivial ist, weglassen...)
3. Zu Demonstrationszwecken. Wie soll jemand, der eine Abgabe kontrolliert, prüfen, ob dem Aufgabenbearbeiter der Sachverhalt wirklich klar ist oder ob das einfach nur behauptet wird.
4. Zu Übungszwecken. Damit man eine Chance hat, schwierigere Sachverhalte zu beweisen, sollte man zunächst an einfacheren Sachverhalten üben. Wer Klavierspielen lernen will, fängt ja auch nicht mit gleich damit an, ein virtuoses Klavierkonzert einzustudieren.
> Ich komm
> leider nicht drauf, wie das beweisen soll ... geschweige
> denn formal aufschreiben soll ...
Dann solltest du dir zunächst übersichtlich aufschreiben, was zu zeigen ist:
"Zu zeigen ist: g surjektiv"
"Das heißt zu zeigen: [mm] $\forall y\in\IR\exists x\in\IR\colon [/mm] g(x)=y$"
Wie zeigt man eine [mm] $\forall y\in\IR$-Aussage [/mm] typischerweise? Wie schachuzipus schrieb: Man gibt sich ein [mm] $y\in\IR$ [/mm] vor und zeigt die Aussage für dieses $y$. Also:
"Sei [mm] $y\in\IR$."
[/mm]
Welche Aussage ist nun zu zeigen?
"Zu zeigen: [mm] $\exists x\in\IR\colon [/mm] g(x)=y$"
Wie zeigt man eine solche [mm] $\exists x\in\IR$-Aussage [/mm] typischerweise? Wie schachuzipus bereits schrieb: Man gibt ein solches [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit $g(x)=y$ an.
Bis hierhin konnte ich ohne großes Nachdenken alles schematisch runterschreiben. Ab jetzt braucht es eine Idee, wie man ein solches x bekommen kann.
Wende die Surjektivität von f auf [mm] $y-1\in\IR$ [/mm] an. Was erhältst du?
> und b) ist nicht surjektiv, hast natürlich recht,
Im Allgemeinen nicht. Je nach Wahl von f kann h schon surjektiv sein.
> aber
> hier gilt das gleiche wie bei a) ich hab 0 Ahnung wie ich
> da einen formalen Beweis führen soll.
Du sollst den Zusammenhang, dass h für jede Wahl von f surjektiv ist, widerlegen. Dazu genügt es ein Beispiel für eine surjektive Funktion [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] anzugeben, für die die zugehörige Funktion $h$ nicht surjektiv ist. Ein Beispiel für ein solches $f$ (nämlich f(x)=-x) hat dir schachuzipus ja schon genannt.
Deine Aufgabe ist nun, die Surjektivität dieses $f$ (ähnlich wie die Surjektivität von g bei a)) zu beweisen und die Surjektivität von dem zugehörigen h zu widerlegen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Sorry, habs versucht, aber für mich ist a) so
> offensichtlich surjektiv, denn wie du gesagt hast, wenn y
> [mm]\in \IR,[/mm] dann auch y - 1 [mm]\in \IR[/mm] ... das ist immer noch so
> ein Ding, was ich in der Mathematik nicht nachvollziehen
> kann, wieso muiss man sowas triviales beweisen?
zum Beispiel neben den von Tobias erwähnten Gründen auch, damit man sich selbst mal klar werden kann, dass man auch alles verstanden und auch richtig verstanden hat.
Deine Idee ist doch schonmal gar nicht so schlecht, bzw. ich erkenne, was Du denkst. Und dennoch hast Du formale Schwächen, es vernünftig zu formulieren und es aufzuschreiben.
Daher helfe ich Dir mal, Deine eigenen Gedanken zu sortieren und zu verstehen.
Aufgabe:
Sei f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ eine surjektive Funktion.
a) Dann ist auch g: $ [mm] \IR \to \IR, [/mm] $ g(x) = f(x) + 1, surjektiv.
Beweis.
Sei $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Wir haben zu zeigen, dass es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass [mm] $g(x)=f(x)+1=y\,$ [/mm] gilt.
(Nun Dein Gedanken: Die Gleichung $f(x)+1=y$ kann man ja in äquivalenter Weise schreiben als [mm] $f(x)=y-1\,,$ [/mm] und das nutzen wir gleich aus. Allerdings schreiben wir das nicht auf, dass wir diese kleine Zwischenüberlegung durchgeführt hatten.)
Weil $y [mm] \in \IR$ [/mm] fest ist, ist auch [mm] $\tilde{y}:=y-1 \in \IR$ [/mm] fest. Nach Voraussetzung der Surjektivität von [mm] $f\,$ [/mm] existiert dann aber ein [mm] $\tilde{x} \in \IR$ [/mm] derart, dass [mm] $f(\tilde{x})=\tilde{y}$ [/mm] gilt.
Deine Aufgabe: Setze nun [mm] $x:=\tilde{x}$ [/mm] und rechne nach, dass [mm] $g(x)=y\,$ [/mm] gilt.
Weil $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig war...
---------------------------------------
Und nun zur b):
Es wurde ja schon erwähnt, dass die Behauptung nicht stimmt. Nehmen wir an, wir würden sie glauben, und wollten den Beweis durchführen, ich schreibe alles in Kurznotation auf:
Hier ist die Funktion [mm] $h(x)=f(x)+x\,.$ [/mm] Wenn nun $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, ist, so suchen wir ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)+x=y\,,$ [/mm] bzw. [mm] $f(x)=y-x\,.$ [/mm] Siehst Du, wo hier ein Problem entsteht,wenn man weiter so vorgehen will wie beim Beweisteil von a)? Sicherlich ist auch $y-x [mm] \in \IR$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] aber ist [mm] $y-x\,$ [/mm] eine feste, [mm] $x\,$-unabhängige [/mm] Zahl, wenn nur [mm] $y\,$ [/mm] fest ist?
Wenn Du das verstanden hast, kommst Du zu dem Schluss: Den Beweis aus a) kann man schonmal nicht imitieren. Wenn der Beweis funktioniert, dann muss man anders vorgehen. Aber es wurde ja eh schon erwähnt: Die Aussage in b) läßt sich nicht beweisen!
(Man kann auch andere, nicht ganz so triviale, Funktionen hernehmen, die das zeigen: [mm] $f(x)=\sin(x)-x$ [/mm] ist auch eine Surjektion [mm] $\IR \to \IR$. [/mm] Wie sieht aber dann [mm] $h\,$ [/mm] aus?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, ich danke euch beiden für die Mühe! :)
|
|
|
|
