Surjektiv und injektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien U, V und W Mengen. Weiter seien g: U [mm] \rightarrow [/mm] V und f: V [mm] \rightarrow [/mm] W Abbildungen. Beweisen sie oder widerlegen sie folgende Aussagen:
(a) Ist f ° g surjektiv, so ist auch f surjektiv
(b) Ist f ° g surjektiv, so ist auch g surjkektiv
(c) Ist f ° g injektiv, so ist auch f injektiv
(d) ist f ° g injektiv, so ist auch g injektiv
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich weiß,dass Aussage a stimmt und kann sie auch beweisen,denn :
f ° g injektiv --> g injektiv
g: U [mm] \rightarrow [/mm] V
x1, x2 [mm] \in [/mm] U mit g (x1) = g ( x2)
f°g : U [mm] \rightarrow [/mm] W durch
(f°g)(x) = f (g(x))
g(x1) = g(x2) [mm] \rightarrow [/mm] f (g(x1)) = f (g(x2))
d. h. f° g (x1) = f°g (x2)
f°g folgt x1=x2 --> g ist injektiv.
Das Gleiche kann ich auch für d,denn die Aussage ist auch richtig.
Leider kann ich Aussagen b und c nicht widerlegen,weiß aber,dass sie nicht stimmen. Wie widerlegt man diese Aussage??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien U, V und W Mengen. Weiter seien g: U [mm]\rightarrow[/mm] V
> und f: V [mm]\rightarrow[/mm] W Abbildungen. Beweisen sie oder
> widerlegen sie folgende Aussagen:
>
> (a) Ist f ° g surjektiv, so ist auch f surjektiv
> (b) Ist f ° g surjektiv, so ist auch g surjkektiv
> (c) Ist f ° g injektiv, so ist auch f injektiv
> (d) ist f ° g injektiv, so ist auch g injektiv
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich weiß,dass Aussage a stimmt und kann sie auch
> beweisen,denn :
>
> f ° g injektiv --> g injektiv
>
> g: U [mm]\rightarrow[/mm] V
> x1, x2 [mm]\in[/mm] U mit g (x1) = g ( x2)
>
> f°g : U [mm]\rightarrow[/mm] W durch
>
> (f°g)(x) = f (g(x))
> g(x1) = g(x2) [mm]\rightarrow[/mm] f (g(x1)) = f (g(x2))
> d. h. f° g (x1) = f°g (x2)
> Da f°g injektiv folgt x1=x2 --> g ist injektiv.
Ich hab' mal etwas, was Du wohl schreiben wolltest, ergänzt 
> Das Gleiche kann ich auch für d,denn die Aussage ist auch
> richtig.
> Leider kann ich Aussagen b und c nicht widerlegen,weiß
> aber,dass sie nicht stimmen. Wie widerlegt man diese
> Aussage??
Um die Aussagen zu widerlegen reicht ein Gegenbeispiel. Z.B. bei b):
Suche also Funktionen [mm] $\black{f},g$ [/mm] so, dass zwar $f [mm] \circ [/mm] g$ surjektiv, nicht aber [mm] $\black{g}$ [/mm] surjektiv ist.
Als Tipp dazu:
Zunächst allgemein: $f: N [mm] \to [/mm] P$, $g: M [mm] \to [/mm] N$ liefert $f [mm] \circ [/mm] g: M [mm] \to [/mm] P$, wobei wir o.E. $M,N,P [mm] \not=\emptyset$ [/mm] annehmen.
Wenn man $P$ jetzt schon möglichst einfach, also einelementig wählt, ist es sicher keine große Kunst mehr, eine nicht surjektive Funktion [mm] $\black{g}$ [/mm] hinzuschreiben. Und man überzeugt sich leicht davon, dass hier aber $f [mm] \circ [/mm] g$ surjektiv ist.
Gegenbeispiel zu $c$:
Betrachte mal
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=|x|$ ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
und
$g(x): [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x\,.$
[/mm]
[mm] $\black{f}$ [/mm] ist nicht injektiv, aber $f [mm] \circ [/mm] g: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] ist's. Das musst Du natürlich auch kurz begründen.
Gruß,
Marcel
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Das habe ich immer noch nicht verstanden. Wie widerlege ich diese Aussage???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das habe ich immer noch nicht verstanden. Wie widerlege ich
> diese Aussage???
durch konkrete Gegenbeispiele. Wenn behauptet wird, dass für alle [mm] $\black{f},g$ [/mm] aus $f [mm] \circ [/mm] g$ surjektiv folgt, dass [mm] $\black{g}$ [/mm] surjektiv ist, so ist diese Behauptung ja genau dann falsch, wenn man zeigt, dass die Negation dieser Aussage wahr ist.
Die Negation von: 'Für alle [mm] $\black{f},g$ [/mm] gilt: Aus $f [mm] \circ [/mm] g$ surjektiv folgt, dass [mm] $\black{g}$ [/mm] surjektiv.'
ist aber:
'Es gibt Funktionen [mm] $\black{f},g$ [/mm] so, dass zwar $f [mm] \circ [/mm] g$ surjektiv ist, nicht aber [mm] $\black{g}$ [/mm] surjektiv ist.'
Also: Es reicht, ein Gegenbeispiel anzugeben!
Dazu meinetwegen auch mal konkret:
Setze [mm] $P=\{1\}$, $M=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $N=\{1,2,3\}$. [/mm] Definiere $f: [mm] N=\{1,2,3\} \to P=\{1\}$ [/mm] durch [mm] $f(1):=f(2):=f(3):=\black{1}\,.$
[/mm]
Definiere $g: [mm] M=\{1,2\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] durch [mm] $g(1):=g(2):=\black{1}$.
[/mm]
Und jetzt überlege Dir, dass diese Funktion [mm] $\black{g}$ [/mm] zwar nicht surjektiv ist, aber $f [mm] \circ [/mm] g$ ist surjektiv.
Gruß,
Marcel
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