Surjektiv - Injektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 22.10.2006 | | Autor: | LULU555 |
| Aufgabe | seien f: X -> Y und g: Y -> Z Abbildungen zeigen sie:
a. g [mm] \circ [/mm] f surjektiv -> g surjektiv
b. g [mm] \circ [/mm] f surjektiv -> f surjektiv
c. g [mm] \circ [/mm] f injektiv -> g injektiv
d. g [mm] \circ [/mm] f injektiv -> f injektiv |
Aussage a hab ich bewiesen, nun brauche ich zum Widerlegen von Aussage b ein Gegenbeispiel kann mir dabei jemand helfen?
Und weiß lemand wie es mit c und d geht?
|
|
| |
|
> seien f: X -> Y und g: Y -> Z Abbildungen zeigen sie:
> b. g [mm]\circ[/mm] f surjektiv -> f surjektiv
Hallo,
fürs Gegenbeispiel kannst Du Dir eine sehr einfache Funktion basteln.
Was bedeutet surjektiv denn anschaulich? Jedes Element der Zielmenge wird "erwischt".
Jetzt guck mal diese Funktionen an:
f: [mm] \{a\} \to \{1,2\} [/mm] mit f(a):=1 und
g: [mm] \{1,2\} \to \{§ \} [/mm] mit g(1):=§ und g(2):=§
[mm] g\circ [/mm] f: [mm] \{a\} \to \{§ \} [/mm] mit [mm] (g\circ [/mm] f)(a)=g(f(a))=g(1)=§
Du kannst es Dir ja mal als Pünktchen und Pfeile aufmalen.
Offensichtlich ist [mm] (g\circ [/mm] f) surjektiv, denn jedes Element von [mm] \{§ \} [/mm] wird "getroffen", aber f ist nicht surjektiv, denn kein Element von f wird auf die 2 abgebildet.
> c. g [mm]\circ[/mm] f injektiv -> g injektiv
Injektiv bedeutet anschaulich: jedes Element der Zielmenge wird von höchstens einem Element der Ausgangsmenge getroffen.
Hier kannst Du Dir ein ähnlich einfaches Beispiel bauen.
(Ich möchte Dir das Malen von kleinen Bildchen sehr ans Herz legen: man lernt etwas dabei.)
> d. g [mm]\circ[/mm] f injektiv -> f injektiv
Hier würde ich zeigen, daß, wenn f nicht injektiv ist, g [mm]\circ[/mm] f nicht injektiv sein kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
