Surjektiv + Injektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe | | http://www.uni-due.de/~hm0019/lehre-akt/pdf/blatt-wiwi10-02.pdf |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
unser Dozent hat dieses Thema einfach durchgeboxt, dabei hab ich davon noch nie was gehört und ich konnte es mir auch mittels Internet und Skript nicht beibringen.
Darum benötige ich eure Hilfe.
Um Arbeit zu sparen poste ich nur den Link der PDF Datei.
Gruß
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> http://www.uni-due.de/~hm0019/lehre-akt/pdf/blatt-wiwi10-02.pdf
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> unser Dozent hat dieses Thema einfach durchgeboxt, dabei
> hab ich davon noch nie was gehört und ich konnte es mir
> auch mittels Internet und Skript nicht beibringen.
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> Darum benötige ich eure Hilfe.
> Um Arbeit zu sparen poste ich nur den Link der PDF Datei.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Sparsamkeit ist nicht in unserem Sinne.
Dann müssen wir nämlich beim Antworten ziemlich viel selbst tippen.
Auch sollst Du lt. Forenregeln für jede Aufgabe einen eigenen Thread eröffnen, und dort konkrete Fragen und Lösungsansätze plazieren.
Ich helfe wirklich gern, bin aber etwas ratlos:
man kann Dir hier ja keine Vorlesung halten - und will das auch nicht.
Du mußt schon genau sagen, was Du verstehst und was dann weshalb nicht mehr.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 24.10.2010 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe | Aufgabe 2.1. Wir betrachten die Abbildungen f, g : M [mm] \to [/mm] M der MengeM = {1, 2, 3, 4}.
f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 1 f(4) = 4
g(1) = 1 g(2) = 3 g(3) = 2 g(4) = 2
(i) Berechnen Sie f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f.
(ii) Welche der Abbildungen f, g und f [mm] \circ [/mm] g ist injektiv?
(iii) Welche der Abbildungen f, g und f [mm] \circ [/mm] g ist surjektiv?
(iv) Geben Sie das Bild g(M) an!
(v) Berechnen Sie das Urbild g−1({2, 3}). |
(i) heißt da, man soll g(1)=1 in f(1)= 2 einfügen. Heißt es dann f(g(1))= 1 oder f(g(1))=2?
Bei den Abbildungen habe ich das Problem, dass ich es mir vor meinem geistigen Auge nicht veranschaulichen kann, was genau damit gemeint ist.
Kann ich es mir als Graphen vorstellen? Leider höre ich das alles zum ersten Mal und weiß nichts damit anzufangen.
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> Aufgabe 2.1. Wir betrachten die Abbildungen f, g : M [mm]\to[/mm] M
> der MengeM = {1, 2, 3, 4}.
> f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 1 f(4) = 4
> g(1) = 1 g(2) = 3 g(3) = 2 g(4) = 2
> (i) Berechnen Sie f [mm]\circ[/mm] g und g [mm]\circ[/mm] f.
> (ii) Welche der Abbildungen f, g und f [mm]\circ[/mm] g ist
> injektiv?
> (iii) Welche der Abbildungen f, g und f [mm]\circ[/mm] g ist
> surjektiv?
> (iv) Geben Sie das Bild g(M) an!
> (v) Berechnen Sie das Urbild g−1({2, 3}).
>
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> (i) heißt da, man soll g(1)=1 in f(1)= 2 einfügen. Heißt
> es dann f(g(1))= 1 oder f(g(1))=2?
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> Bei den Abbildungen habe ich das Problem, dass ich es mir
> vor meinem geistigen Auge nicht veranschaulichen kann, was
> genau damit gemeint ist.
>
> Kann ich es mir als Graphen vorstellen? Leider höre ich
> das alles zum ersten Mal und weiß nichts damit anzufangen.
Hallo,
Du hast zwei Abbildungen f,g, welche beide (auf ihre Weise) jedem Element aus M eins aus M zuordnen in der angegebenen Weise:
> f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 1 f(4) = 4
> g(1) = 1 g(2) = 3 g(3) = 2 g(4) = 2
Anders schreiben kann man es mit Pfeilen
-für die Funktion f
[mm] 1\mapsto [/mm] 2
[mm] 2\mapsto [/mm] 3
[mm] 3\mapsto [/mm] 1
[mm] 4\mapsto [/mm] 4,
-für die Funktion g
[mm] 1\mapsto [/mm] 1
[mm] 2\mapsto [/mm] 3
[mm] 3\mapsto [/mm] 2
[mm] 4\mapsto [/mm] 2.
Nun solltest Du Dir erstmal klarmachen, was mit [mm] f\circ [/mm] g gemint ist,
hierfür hilft ein Blick in die Vorlesungsmitschrift:
[mm] f\circ [/mm] g ist eine Abbildung, die ebenfalls von M nach M abbildet und zwar so: es ist [mm] (f\circ [/mm] g)(x):=f(g(x)) für alle [mm] x\in [/mm] M.
Ein Beispiel: [mm] (f\circ [/mm] g)(2)=f(g(2))=f(3)=1.
Nun die anderen,
und danach analog für [mm] g\circ [/mm] f.
Bei so übersichtlichem Mengen wie M kannst Du Dir Abbildungen mit ![[]](/images/popup.gif) solchen Pfeilbildern veranschaulichen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 24.10.2010 | | Autor: | Brandon |
ich habe es mal analog nach dem Beispiel gerechnet:
-für die Funktion f
$ [mm] 1\mapsto [/mm] $ 2
$ [mm] 2\mapsto [/mm] $ 3
$ [mm] 3\mapsto [/mm] $ 1
$ [mm] 4\mapsto [/mm] $ 4,
-für die Funktion g
$ [mm] 1\mapsto [/mm] $ 1
$ [mm] 2\mapsto [/mm] $ 3
$ [mm] 3\mapsto [/mm] $ 2
$ [mm] 4\mapsto [/mm] $ 2.
f [mm] \circ [/mm] g = (2) = f(g(1)) = f(1) = 2
g [mm] \circ [/mm] f = (1) = g(f(1))= g(2) = 3
f [mm] \circ [/mm] g = (3) = f(g(2)) = f(3) = 1
g [mm] \circ [/mm] f = (3) = g(f(2)) = g(3)= 2
f [mm] \circ [/mm] g = (1) = f(g(3)) = f(2) = 3
g [mm] \circ [/mm] f = (2) = g(f(3)) = g(1)= 1
f [mm] \circ [/mm] g = (4) = f(g(4)) = f(2) = 3
g [mm] \circ [/mm] f = (2) = g(f(4)) = g(4)= 2
zu ii) injektiv ist f, da jedes X ein Y hat. g aber nicht, da ein Y zwei X hat.
zu iii) surjektiv ist f, da jede Zielmenge mindestens einmal getroffen wurde. heißt dies nicht f ist bijektiv?
g ist nicht surjektiv, da eine Zielmenge kein X hat.
zu iv) Das Bild einer Abbildung [mm] f:M\longrightarrow [/mm] N ist die Menge aller Elemente aus N, die den Elementen aus M zugeordnet wurden.
das heißt auf diese Aufgabe bezogen, dass 1,2,3 infrage kommen, da 4 keine Zuordnung aus M hat oder?
zu v) das Urbild [mm] g^{-1}({2, 3}): [/mm] Ich verstehe das so, dass nach der Teilmenge aus der Zielmenge 2,3 gefragt ist und welche M dafür infrage kommen. Das wären dann 2,3,4; richtig?
Ich hoffe ich hab das nicht zuoft bearbeitet.
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> ich habe es mal analog nach dem Beispiel gerechnet:
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> -für die Funktion f
> [mm]1\mapsto[/mm] 2
> [mm]2\mapsto[/mm] 3
> [mm]3\mapsto[/mm] 1
> [mm]4\mapsto[/mm] 4,
>
> -für die Funktion g
> [mm]1\mapsto[/mm] 1
> [mm]2\mapsto[/mm] 3
> [mm]3\mapsto[/mm] 2
> [mm]4\mapsto[/mm] 2.
>
>
> f [mm]\circ[/mm] g = (2) = f(g(1)) = f(1) = 2
> g [mm]\circ[/mm] f = (1) = g(f(1))= g(2) = 3
Hallo,
ich blicke nicht durch hier.
Ich hatte es Dir dch vorgemacht:
wenn Du den Funktionswert von [mm] f\circ [/mm] g an der Stelle x wissen willst, also [mm] (f\circ [/mm] g)(x), dann mußt Du f(g(x)) rechnen. Also g(x) ausrechnen und das in f(...) einsetzen:
(f [mm] $\circ$ [/mm] g)(2) = f(g(2)) = f(3) , alle anderen entsprechend.
>
> f [mm]\circ[/mm] g = (3) = f(g(2)) = f(3) = 1
> g [mm]\circ[/mm] f = (3) = g(f(2)) = g(3)= 2
>
> f [mm]\circ[/mm] g = (1) = f(g(3)) = f(2) = 3
> g [mm]\circ[/mm] f = (2) = g(f(3)) = g(1)= 1
>
> f [mm]\circ[/mm] g = (4) = f(g(4)) = f(2) = 3
> g [mm]\circ[/mm] f = (2) = g(f(4)) = g(4)= 2
>
>
>
> zu ii) injektiv ist f, da jedes X ein Y hat.
Daß f injektiv ist, stimmt.
Die Begründung ist falsch.
f ist injektiv, weil auf jedes Element der Zielmenge (hier: M) höchstens eines der Definitionsmenge (hier:M) abgebildet wird.
> g aber nicht,
richtig.
> da ein Y zwei X hat.
Nicht schön formuliert, aber Du meinst es richtig.
g ist nicht injektiv, weil die 3 und die 4 auf die 2 abgebildet werden.
Wenn Du die Verknüpfungen dann richtig hast, ist auch noch die Frage nach der Injektivität von [mm] f\circ [/mm] g zu beantworten.
> zu iii) surjektiv ist f,
richtig.
> da jede Zielmenge mindestens
> einmal getroffen wurde.
Jedes Element der Zielmenge wird einmal "getroffen".
Feiner: auf jedes Element der Zielmenge wird (mindestens) eines der Definitionsmenge abgebildet.
> heißt dies nicht f ist bijektiv?
Ja, genau!
> g ist nicht surjektiv
Richtig.
>, da eine Zielmenge kein X hat.
Da auf das Element 4 der Zielmenge kein Element der Definitionsmenge abgebildet wird.
[mm] f\circ [/mm] g ist auch hier noch zu bedenken.
>
> zu iv) Das Bild einer Abbildung [mm]f:M\longrightarrow[/mm] N ist
> die Menge aller Elemente aus N, die den Elementen aus M
> zugeordnet wurden.
>
> das heißt auf diese Aufgabe bezogen, dass 1,2,3 infrage
> kommen, da 4 keine Zuordnung aus M hat oder?
Na, schau an: das läuft doch gar nicht so schlecht hier!
[mm] g(M)=\{1,2,3\}.
[/mm]
>
> zu v) das Urbild [mm][/mm] Ich verstehe das so, dass
> nach der Teilmenge aus der Zielmenge 2,3 gefragt ist und
> welche M dafür infrage kommen. Das wären dann 2,3,4;
> richtig?
Du formulierst ganz kraus, aber Du anwortest richtig.
Das Urbild (unter g) der Menge [mm] \{2,3\} [/mm] enthält all die Elemente, welche auf die 2 oder die 3 abgebildet werden.
Also ist [mm] g^{-1}(\{2,3\})=\{2,3,4\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 24.10.2010 | | Autor: | Brandon |
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe :)
Nur versteh ich jetzt nicht, ob ich Aufgabe i) richtig oder falsch habe. Ich habs versucht analog zu lösen:
Also z.B. (f [mm] \circ [/mm] g) (4) = f(g(4))= f(2) = 3
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beispiel ist richtig
gruss leduart
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> Nur versteh ich jetzt nicht, ob ich Aufgabe i) richtig oder
> falsch habe. Ich habs versucht analog zu lösen:
>
> Also z.B. (f [mm]\circ[/mm] g) (4) = f(g(4))= f(2) = 3
Hallo,
dies hier ist richtig,
aber beim anfangs Geposteten war alles oder fast alles falsch.
Gruß v. Angela
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Injection.svg){kind=small}
solchen Pfeilbildern