Surjektiv < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V=[mm]\IR^\IN[/mm]. Betrachte die Abbildung:
[mm]\gamma : V\mapsto V ,[/mm] [mm](x_1,x_2,........) \mapsto (x_1 + x_2, x_2 + x_3,...)[/mm]
Ist die Abbildung injenktiv oder surjektiv? |
Was injektiv bzw. surjektiv weiß ich. Es hängt bei mir nur zu zeigen, dass es surjektiv ist.
Zu injektiv:
Für Inejktiv gilt ja :
[mm]x\neq y \to \gamma(x)\neq\gamma(y)[/mm]
So wählen wir einmal X=(1,0,1,0,...) und Y=(0,1,0,1,...)
Es gilt ja [mm]x\neq y[/mm], aber [mm] \gamma(x)=\gamma(y)[/mm] mit (1,1,1,1,1,...)
Also ein Wiederspruch.
Eine andere Methode zu zeigen, dass es nicht injenktiv sein kann, ist folgende:
Kern [mm](\gamma)[/mm]= [mm]\left \{ 0\right \}[/mm]
Das ist hier nich der Fall, weil ja die Folge (1,-1,1,-1,...) im Kern liegt und nicht auschließlich du Nullmenge.
Kommen wir zur Surjektivität:
Ich weiß, das gelten muss:
[mm]\forall x\in V , \exists y[/mm] mit [mm]\gamma(x)=y[/mm]
aber wie zeige ich das genau hier???
Wir sind auf folgende Lösung gekommen, die ich nicht nachvollziehen kann. Vll. kann mir die jmd. erläutern:
[mm]\gamma(0,x_1,x_2 - x_1,x_3 - (x_2 - x_1),...)=(x_1,x_2,x_3,...)
Wie kommt man drauf?
Danke[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo martinmax1234,
> Sei V=[mm]\IR^\IN[/mm]. Betrachte die Abbildung:
>
> [mm]\gamma : V\mapsto V ,[/mm] [mm](x_1,x_2,........) \mapsto (x_1 + x_2, x_2 + x_3,...)[/mm]
>
> Ist die Abbildung injenktiv oder surjektiv?
>
> Kommen wir zur Surjektivität:
>
>
> Ich weiß, das gelten muss:
>
> [mm]\forall x\in V , \exists y[/mm] mit [mm]\gamma(x)=y[/mm]
>
> aber wie zeige ich das genau hier???
>
> Wir sind auf folgende Lösung gekommen, die ich nicht
> nachvollziehen kann. Vll. kann mir die jmd. erläutern:
>
> [mm]\gamma(0,x_1,x_2 - x_1,x_3 - (x_2 - x_1),...)=(x_1,x_2,x_3,...) Wie kommt man drauf? Danke[/mm]
Entweder durch schwarfes Hinschauen oder du nimmst dir ein Beispiel:
Versuchen wir mal für [mm]y=(1,2,3,4,5,6,...)[/mm] ein passendes [mm]x=(x_1,x_2,x_3,x_4,...)[/mm] zu finden mit [mm]\gamma(x)=y[/mm].
Es ist [mm]y_1=1=x_1+x_2[/mm], also z.B. [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1=y_1[/mm] (*).
[mm]y_2=x_2+x_3[/mm], bzw [mm]2=1+x_3[/mm], oder [mm]y_2=y_1+x_3 \Leftrightarrow x_3=y_2-y_1[/mm].
Und das immer so weiter...
Du erhältst dann [mm]x=(0,1,1,2,...)=(0, y_1, y_2-y_1, ...)[/mm] wie in deiner Lösung. Beachte aber, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist, denn in (*) könnte man auch andere Werte für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] wählen.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
|
