Surjekt./Injekt.-Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 06.03.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Seien f : A→ B und g : B→C Funktionen. Man beweise oder widerlege (durch Angabe
eines Gegenbeispiels), dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptung richtig ist:
Wenn f surjektiv und g nicht injektiv ist, so ist g [mm] \circ [/mm] f nicht injektiv. |
Ich habe die Aufgabe in soweit durchblickt, dass ich in Worten begründen könnte, dass diese Behauptung richtig ist.
Ich würde sogar soweit gehen und behaupten, dass wenn f surjektiv ist, dass g [mm] \circ [/mm] f die gleiche Eigenschaft wie die Funktion g annimmt.
Weil wenn die Funktion f alle b in B trifft, dann ist nur noch relevant, welche c in C von der Funktion g getroffen werden.
Oder sehe ich das falsch?
Nun zu meinem Ansatz:
Sei f surjektiv und g nicht injektiv vorausgesetzt.
Dann ist zuzeigen: [mm] \exists [/mm] a1, a2 [mm] \in [/mm] A : g [mm] \circ [/mm] f (a1) = g [mm] \circ [/mm] f (a2) [mm] \Rightarrow [/mm] a1 [mm] \not= [/mm] a2
Oder ist ein Beweis durch Widersprich einfacher? Beides ist mir nicht so recht gelungen.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben. Danke schonmal!
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Hi,
> Seien f : A→ B und g : B→C Funktionen. Man beweise oder
> widerlege (durch Angabe
> eines Gegenbeispiels), dass für alle Mengen A, B, C
> folgende Behauptung richtig ist:
>
> Wenn f surjektiv und g nicht injektiv ist, so ist g [mm]\circ[/mm] f
> nicht injektiv.
> Ich habe die Aufgabe in soweit durchblickt, dass ich in
> Worten begründen könnte, dass diese Behauptung richtig
> ist.
> Ich würde sogar soweit gehen und behaupten, dass wenn f
> surjektiv ist, dass g [mm]\circ[/mm] f die gleiche Eigenschaft wie
> die Funktion g annimmt.
> Weil wenn die Funktion f alle b in B trifft, dann ist nur
> noch relevant, welche c in C von der Funktion g getroffen
> werden.
> Oder sehe ich das falsch?
Stimmt schon
>
> Nun zu meinem Ansatz:
>
> Sei f surjektiv und g nicht injektiv vorausgesetzt.
>
> Dann ist zuzeigen: [mm]\exists[/mm] a1, a2 [mm]\in[/mm] A : g [mm]\circ[/mm] f (a1) =
> g [mm]\circ[/mm] f (a2) [mm]\Rightarrow[/mm] a1 [mm]\not=[/mm] a2
Beweisskizze:
1) Es gibt [mm] b_1,b_2\in [/mm] B mit [mm] b_1\neq b_2 [/mm] und [mm] g(b_1)=g(b_2) [/mm] (warum?)
2) Es gibt [mm] a_1\in [/mm] A mit [mm] f(a_1)=b_1, a_2\in [/mm] A mit [mm] f(a_2)=b_2 [/mm] (warum?). Insbesondere ist [mm] $a_1\neq a_2$.
[/mm]
3) [mm] g\circ f(a_1)=g\circ f(a_2) [/mm] mit [mm] a_1\neq a_2. [/mm] (warum?). Also ist die Verknüpfung nicht injektiv.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 06.03.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Seien f : A → B und g : B → C Funktionen. Man beweise oder widerlege (durch Angabe
eines Gegenbeispiels), dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptung richtig ist:
Wenn f surjektiv und g nicht injektiv ist, so ist g $ [mm] \circ [/mm] $ f nicht injektiv. |
> > Nun zu meinem Ansatz:
> >
> > Sei f surjektiv und g nicht injektiv vorausgesetzt.
> >
> > Dann ist zuzeigen: [mm]\exists[/mm] a1, a2 [mm]\in[/mm] A : g [mm]\circ[/mm] f (a1) =
> > g [mm]\circ[/mm] f (a2) [mm]\Rightarrow[/mm] a1 [mm]\not=[/mm] a2
> Beweisskizze:
> 1) Es gibt [mm]b_1,b_2\in[/mm] B mit [mm]b_1\neq b_2[/mm] und [mm]g(b_1)=g(b_2)[/mm]
> (warum?)
Weil die Funktion g nicht injektiv ist,
gilt die Kontroposition der Injektivitätsdefinition.
> 2) Es gibt [mm]a_1\in[/mm] A mit [mm]f(a_1)=b_1, a_2\in[/mm] A mit
> [mm]f(a_2)=b_2[/mm] (warum?). Insbesondere ist [mm]a_1\neq a_2[/mm].
Wegen der Surjektivität. Aber warum gilt hier insbesonder [mm] a_1\neq a_2 [/mm] ???
> 3)
> [mm]g\circ f(a_1)=g\circ f(a_2)[/mm] mit [mm]a_1\neq a_2.[/mm] (warum?). Also
> ist die Verknüpfung nicht injektiv.
>
> LG
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Hallo,
> Seien f : A → B und g : B → C Funktionen. Man beweise
> oder widerlege (durch Angabe
> eines Gegenbeispiels), dass für alle Mengen A, B, C
> folgende Behauptung richtig ist:
>
> Wenn f surjektiv und g nicht injektiv ist, so ist g [mm]\circ[/mm] f
> nicht injektiv.
> > > Nun zu meinem Ansatz:
> > >
> > > Sei f surjektiv und g nicht injektiv vorausgesetzt.
> > >
> > > Dann ist zuzeigen: [mm]\exists[/mm] a1, a2 [mm]\in[/mm] A : g [mm]\circ[/mm] f (a1) =
> > > g [mm]\circ[/mm] f (a2) [mm]\Rightarrow[/mm] a1 [mm]\not=[/mm] a2
>
> > Beweisskizze:
> > 1) Es gibt [mm]b_1,b_2\in[/mm] B mit [mm]b_1\neq b_2[/mm] und
> [mm]g(b_1)=g(b_2)[/mm]
> > (warum?)
>
> Weil die Funktion g nicht injektiv ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> gilt die Kontroposition der Injektivitätsdefinition.
>
> > 2) Es gibt [mm]a_1\in[/mm] A mit [mm]f(a_1)=b_1, a_2\in[/mm] A mit
> > [mm]f(a_2)=b_2[/mm] (warum?). Insbesondere ist [mm]a_1\neq a_2[/mm].
>
> Wegen der Surjektivität von f. Aber warum gilt hier insbesonder
> [mm]a_1\neq a_2[/mm] ???
Wäre anderfalls [mm] a_1=a_2, [/mm] so wäre [mm] f(a_1)=f(a_2), [/mm] aber [mm] f(a_1)=b_1\neq b_2=f(a_2).
[/mm]
Das ist eine allgemeingültige Abbildungseigenschaft (eindeutige Zuordnung)
>
> > 3)
> > [mm]g\circ f(a_1)=g\circ f(a_2)[/mm] mit [mm]a_1\neq a_2.[/mm]. Also
> > ist die Verknüpfung nicht injektiv.
> >
> > LG
LG
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