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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 06.02.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] existiert ein x [mm] \in [/mm] A mit sup A - [mm] \varepsilon [/mm] < x < sup A (A nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ohne Maximum |
Die rechte Ungleichung ist klar.
Bei der zweiten Ungleichung habe ich ein Problem. Und zwar habe ich noch ein Verständniseprobleme mit Aussagen wie, "zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein x aus ...".
Ich habe den Beweis für die erste Ungleichung als Lösung und schreibe diese einfach einmal hier herein.
Beweis: Angenommen, für alles x [mm] \in [/mm] A gilt x < oder = sup A - [mm] \varepsilon. [/mm] Dann ist sup A - [mm] \varepsilon [/mm] eine obere Schranke von A, die kleiner ist als sup A. Dies kann aber nicht sein, denn sup A ist die kleinste obere Schranke. Also gibt es ein x aus A mit sup A - [mm] \varepsilon [/mm] < x.
Behauptet wird also, dass für ale Epsilon größer 0 ein x aus A existiert.
Da hier ein Widerspruchsbeweis geführt wird, muss also gesagt werden: ES gibt ein Epsilon größer 0, sodass für alle x aus A gilt...
Ist das so richtig? Man muss also immer nur die Quantoren negieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem Beweis fehlt, dass A kein max hat, also kann er so nicht stimmen. denn wenn A nur die Menge {1,2} ist supA=2 [mm] \epsilon=1.1?
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] existiert ein x [mm]\in[/mm] A mit sup A -
> [mm]\varepsilon[/mm] < x < sup A (A nichtleere Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> ohne Maximum
> Die rechte Ungleichung ist klar.
Mir nicht.
Da soll wohl x [mm] \le [/mm] sup A stehen.
> Bei der zweiten Ungleichung habe ich ein Problem. Und zwar
> habe ich noch ein Verständniseprobleme mit Aussagen wie,
> "zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein x aus ...".
> Ich habe den Beweis für die erste Ungleichung als Lösung
> und schreibe diese einfach einmal hier herein.
>
> Beweis: Angenommen, für alles x [mm]\in[/mm] A gilt x < oder = sup
> A - [mm]\varepsilon.[/mm] Dann ist sup A - [mm]\varepsilon[/mm] eine obere
> Schranke von A, die kleiner ist als sup A. Dies kann aber
> nicht sein, denn sup A ist die kleinste obere Schranke.
> Also gibt es ein x aus A mit sup A - [mm]\varepsilon[/mm] < x.
>
> Behauptet wird also, dass für ale Epsilon größer 0 ein x
> aus A existiert
..... mit x>sup A - [mm] \varepsilon.
[/mm]
> Da hier ein Widerspruchsbeweis geführt wird, muss also
> gesagt werden: ES gibt ein Epsilon größer 0, sodass für
> alle x aus A gilt...
x [mm] \le [/mm] sup A - [mm] \varepsilon
[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja
> Man muss also immer nur die Quantoren negieren?
negieren ? Nein: umdrehen
FRED
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