Supremun, Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mi 01.11.2006 | | Autor: | chief |
| Aufgabe | Untersuche Sie, ob die folgende Menge ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum hat, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Werte.
{ [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] : 0 < x [mm] \le [/mm] 5 } |
Wenn mich nciht alles täuscht ist es immer hilfreich, sich zunächst mal die ersten Elemente der Menge anzusehen.
Dabei kann man zunächst beide Teilmengen separat betrachten:
x : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] : 1 ; [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Dafür habe ich jetzt folgendes Ergebnis bekommen:
Teilmenge x
Supremum: 5, gleichzeitig Maximum
Infimum: 0, kein Minimum
Teilmenge [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Supremum: 1, gleichzeitig Maximum
Infimum: 0, kein Minimum
Ich hoffe das stimmt! Mein Problem ist, dass ich übrhaupt keine Ahnung habe wie ich das ganze beweisen kann. Die Definitionen von Supremum, Minimum, ... kenn ich zwar, aber leider weiß ich nicht, wie ich an sowas rangehe muss um einen korrekten beweis zu bekommen. Ich hoffe ihr könnt mir erklären was ich zu tun habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mi 01.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
von mir eine kleine Anmerkung hierzu, nicht zum Gesamtausdruck:
> Teilmenge [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> Supremum: 1, gleichzeitig Maximum
> Infimum: 0, kein Minimum
Das stimmt leider nicht ganz - denn [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Daher kann es ein Supremum hierfür nicht geben, dementsprechend auch kein Maximum, da die Menge unbeschränkt ist
Das Infimum liegt bei bei [mm] \bruch{1}{5} [/mm] und wird angenommen, ist also auch Minimum!
Gruß Dester
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Untersuche Sie, ob die folgende Menge ein Infimum,
> Supremum, Minimum bzw. Maximum hat, und bestimmen Sie
> gegebenenfalls deren Werte.
>
> { [mm]x+\bruch{1}{x}[/mm] : 0 < x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
5 }
Es ging doch um Supremum/Infimum etc. der "Bildmenge" des halboffenen Intervalls (0,5] unter der Funktion $f(x)=x+)1/x)$; ich fürchte, da hst Du die falsche Menge betrachtet  .
Überleg Dir folgendes: $x$ kann jede noch so kleine pos. Zahl annehmen; je näher x bei 0 liegt, umso größer wird der Wert von 1/x. Kann es da eine obere Schranke geben? Wenn keine existiert, existiert auch kein Supremum.
Beim Infimum liegst Du aber richtig  .
> Wenn mich nciht alles täuscht ist es immer hilfreich, sich
> zunächst mal die ersten Elemente der Menge anzusehen.
>
> Dabei kann man zunächst beide Teilmengen separat betrachten:
Ah, jetzt dämmerts mir - so was ähnliches hatte ich mal als Übungsaufgabe: Gegeben zwei beschränkte Mengen $A,B$ sowie die Menge $\{a+b \mid a \in A; b \in B\}$. Zu zeigen war u.a.: Sup der "Summen-Menge" = Sup A +Sup B$. (Oder wars doch nur <=??) Wie man hier sieht, stimmt das nicht mehr, wenn eine der Mengen nicht (nach oben) beschränkt ist.
> x : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] : 1 ; [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ;
> Ich hoffe das stimmt! Mein Problem ist, dass ich übrhaupt
> keine Ahnung habe wie ich das ganze beweisen kann. Die
> Definitionen von Supremum, Minimum, ... kenn ich zwar, aber
> leider weiß ich nicht, wie ich an sowas rangehe muss um
> einen korrekten beweis zu bekommen. Ich hoffe ihr könnt mir
> erklären was ich zu tun habe.
>
Man kann sich z.B. folgendes Überlegen:
Ist die Menge $M$ nichtleer und existiert $S:=Sup M$ und ist [mm] $S\in [/mm] M$, dann ist $S$ Maximum von $M$. Entsprechend für Infimum/Minimum.
Und es gibt sicher auch "Kriterien" die leichter zu handhaben sind als bspw. die Definition von Supremum/Infimum. Oder meintest Du, wie man auf eine Beweisidee kommt ? Das wüßte ich nämlch manchmal auch gern :-(.
Mfg
zahlenspieler
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