Supremumsnorm und metrik < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei C([a, b]) der Raum der stetigen Funktionen auf [a, b]. Wir definieren die Supremumsnorm durch [mm] ||f||_{\infty} [/mm] = [mm] sup_{x\in[a,b]} [/mm] |f(x)|.
(i) Man weise nach, dass [mm] ||.||_{\infty}eine [/mm] Norm auf C([a, b]) definiert.
(ii) Mit Hilfe der Supremumsnorm erhalten wir eine Metrik [mm] d_{\infty} [/mm] auf C([0, 1]). Wir nutzen
diese Metrik, um zu definieren, wann eine Folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] aus C([0, 1]) konvergiert.
Konvergiert die Folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegeben durch
[mm] f(n)=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{für } \mbox{ x <= 1/n} \\ 0, & \mbox{für} \mbox{ x > 1/n} \end{cases}
[/mm]
bezüglich [mm] d_{\infty}? [/mm] |
Hallo,
also Aufgabe 1) denke ich gelöst zu haben.
wollte nur mal fragen, ob ich das richtig gemacht habe:
Ich habe z.B. nachgewiesen: ||a*x|| = |a| * ||x||:
[mm] sup_{x\in[a,b]} [/mm] |f(x)| = [mm] |(x_{1},...,(x_{m})|_{\infty}
[/mm]
[mm] sup(||a*(x_{1},...,x_{m})||_{\infty}) [/mm] = [mm] sup(||(a*x_{1},...,(a*x_{m})||_{\infty})
[/mm]
= [mm] sup(|(a*x_{1}|+...+|(a*x_{m})|)
[/mm]
= [mm] sup(|a||(x_{1}|+...+|a||(x_{m})|)
[/mm]
= [mm] sup(|a|(|(x_{1}|+...+|(x_{m})|))
[/mm]
= [mm] sup(|a|(||(x_{1}|+...+|(x_{m})||_{\infty}))
[/mm]
ist das so korrekt??
Bei 2. weiss ich leider nicht wie ich rangehen soll.
Bin über jede Hilfe erfreut.
MFG
Nathenatiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 24.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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