Supremum und Infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Micha19 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sup M und inf M für folgende Mengen.
a) M = [mm] \{ \bruch{3 + (-1)^{n}}{2^{n+1}} | n \in \IN \}
[/mm]
b) M = [mm] \{ \bruch{x}{1+x^{2}} | x \in \IR \}
[/mm]
Hinweis zu b): Verwenden Sie [mm] (1-x)^{2} \ge [/mm] 0. |
hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also erstmal zu a)
Ich hab mir gedacht, dass ich das inf durch limes bestimmen kann, denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3 + (-1)^{n}}{2^{n+1}} [/mm] = +0
somit krieg ich inf M = 0.
Nur beim Supremum hab ich keine Idee, wie ich das aufschreiben soll. Durch probieren sieht man, dass sup M = 0,5 ist und auch das Maximum von M ist.
Kann man das so einfach mit limes machen? Und statt probieren muss es doch eine andere Möglichkeit geben, ich weiß leider nur nicht welche!
Bei b) bin ich dann noch ratloser. Der Hinweis verwirrt mich und ich hab keine Ahnung was ich damit anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mi 27.10.2010 | | Autor: | moudi |
zu a) Wenn der Limes existiert und gleich 0 ist, und alle Zahlen positiv sind, dann muss 0 das Infimum sein. Um das Maximum zu finden (es muss dann ein Maximum sein!) schaut man sich den Bruch genauer an. Die Nenner werden groesser mit wachsendem n und die Nenner sind abwechslungsweise 2 und 4. Also muss man nur zwei n pruefen um das Maximum zu finden.
zu b) Wenn [mm] $(1-x)^2\geq [/mm] 0$, dann erhaelt man durch ausmultiplizieren [mm] $1-2x+x^2\geq [/mm] 0$ und damit [mm] $1+x^2\geq [/mm] 2x$. Jetzt kannst du diese Abschaetzung fuer den Nenner verwenden und zeigen, dass [mm] $\frac{x}{1+x^2}\leq \dots$. [/mm] Andrerseits kannst du auch zeigen, dass diese obere Schranke auch angenommen wir, und dass fuer ein x Gleichheit herrscht (es muss das gleich x sein, fuer das [mm] $(1-x)^2=0$).
[/mm]
Das Infimum findet man dann auch leicht, weil die Kurve [mm] $y=\frac{x}{1+x^2}$ [/mm] eine Symmetrie besitzt (welche?).
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Micha19 |
also ich denke a) konnte ich lösen.
Aber bei b) komme ich trotzdem nicht weiter! Ich versteh nicht ganz was auf die rechte Seite der Ungleichung kommt
> Jetzt kannst du diese Abschaetzung fuer den Nenner
> verwenden und zeigen, dass [mm] \frac{x}{1+x^2}\leq\dots. [/mm]
Soll ich dann [mm] \frac{x}{1+x^2}\leq \bruch{x}{2x} [/mm] und damit weiter rechnen oder versteh ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 28.10.2010 | | Autor: | moudi |
> also ich denke a) konnte ich lösen.
>
> Aber bei b) komme ich trotzdem nicht weiter! Ich versteh
> nicht ganz was auf die rechte Seite der Ungleichung kommt
>
> > Jetzt kannst du diese Abschaetzung fuer den Nenner
> > verwenden und zeigen, dass [mm]\frac{x}{1+x^2}\leq\dots.[/mm]
>
> Soll ich dann [mm]\frac{x}{1+x^2}\leq \bruch{x}{2x}[/mm] und damit
> weiter rechnen oder versteh ich das falsch?
Nein, das verstehst du richtig. Und du bist ja schon fast am Ziel (siehe weitere Tipps).
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 27.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie sup M und inf M für folgende Mengen.
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> a) M = [mm]\{ \bruch{3 + (-1)^{n}}{2^{n+1}} | n \in \IN \}[/mm]
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> b) M = [mm]\{ \bruch{x}{1+x^{2}} | x \in \IR \}[/mm]
Hallo,
das Reziproke von [mm] \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] ist [mm] \bruch{1+x^{2}}{x}=\bruch{1}{x}+x. [/mm] Diese Summe ist (für positive x) immer größer oder gleich 2 (das kann man in wenigen Schritten aus [mm] (x-1)^2\ge0 [/mm] ableiten).
Also liegt (für positive x) [mm] \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] zwischen 0 und 0,5.
Den Fall x<0 kannst du daraus jetzt sicher auch ableiten.
Gruß Abakus
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> Hinweis zu b): Verwenden Sie [mm](1-x)^{2} \ge[/mm] 0.
> hi!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> also erstmal zu a)
>
> Ich hab mir gedacht, dass ich das inf durch limes bestimmen
> kann, denn
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3 + (-1)^{n}}{2^{n+1}}[/mm] =
> +0
>
> somit krieg ich inf M = 0.
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> Nur beim Supremum hab ich keine Idee, wie ich das
> aufschreiben soll. Durch probieren sieht man, dass sup M =
> 0,5 ist und auch das Maximum von M ist.
>
> Kann man das so einfach mit limes machen? Und statt
> probieren muss es doch eine andere Möglichkeit geben, ich
> weiß leider nur nicht welche!
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>
> Bei b) bin ich dann noch ratloser. Der Hinweis verwirrt
> mich und ich hab keine Ahnung was ich damit anfangen soll.
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