Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 1)
Berechnen Sie gegebenenfalls Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der folgenden Teilmengen von [mm] \IR:
[/mm]
[mm] \{q^n : n \in \IN\}, [/mm] mit 0<q<1
[mm] \{b^n : n \in \IN\}, [/mm] mit b>1
[mm] \{(-1)^n + \bruch{1}{n} : n \in \IN\}
[/mm]
[mm] \{(-1)^n + 2^{-m} : n,m \in \IN\}
[/mm]
Aufgabe 2)
a) Beweisen Sie: Sind A,B [mm] \subseteq \IR [/mm] mit der Eigenschaft a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B.
Dann existieren sup(A) und inf(B) und es gilt sup(A) [mm] \le [/mm] inf(B)
b) Zeigen sie: Ist [mm] (I_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Intervallschachtelung mit [mm] I_{n} [/mm] = [mm] [a_{n}, b_{n}] [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] so existert [mm] x:=sup(\{ a_{n} : n \in \IN \}) [/mm] und x ist der innere Punkt der Intervallschachtelung.
Gilt auch [mm] x:=inf(\{ b_{n} : n \in \IN \})? [/mm] |
Aufgabe 1)
Die Berechnung ist kein Problem, ich habe folgende Ergebnisse:
(1)
sup{ [mm] q^n [/mm] } = 1
inf{ [mm] q^n [/mm] } = 0
(2)
sup{ [mm] b^n [/mm] } = [mm] +\infty
[/mm]
inf{ [mm] b^n [/mm] } = 1
(3)
sup{ ... } = [mm] 1\bruch{1}{2}
[/mm]
inf{ ... } = -1
(4)
sup{ ... } = [mm] 1\bruch{1}{4}
[/mm]
inf{ ... } = [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
Allerdings sind das ja quasi nur "Vermutungen"; ich weiß leider nicht, wie ich beweise, dass es sich um Supremum / Infimum handelt. Mir erscheint das logisch, und da in der Aufgabenstellung nur "berechnen Sie" steht, habe ich mich schon gefreut, in den offiziellen Tips steht aber sogar was von Induktion und Archimedischem Axiom. Werde mir das nochmal genauer angucken, aber so spontan hab ich einfach absolut 0 Ahnung... wie beweise ich Supremum / Infimum, durch Induktion? Wie zeige ich das dann?
Aufgabe 2)
Hier ist's ganz mies. Ich behaupte erstmal, dass unser Prof einfach gesagt hätte "das ist ja trivial, den Beweis sparen wir uns", und wir dürfen's dann doch machen.
a)
Beweis durch Widerspruch. A und B sind außerdem nicht leer (was mach ich'n dann?).
Behauptung: sup(A) > inf(B)
Beweis: [mm] \exists a_{s} \in [/mm] A mit [mm] a_{s} [/mm] = max(A) folgt [mm] a_{s} [/mm] > inf(B) wg. Aufgabenstellung: a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B ist das aber ein Widerspruch.
Der Beweis gilt aber nur, falls das Maximum von A auch in A enthalten ist - falls nicht, dafür habe ich keinen Ansatz.
b)
Bin noch dabei, hab grad was bei Wiki gefunden was sich gut anhört.
Jedenfalls, wenn mir jemand weiterhelfen könnte wär ich glücklich. Ist zwar nicht so, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, aber ich finde es ehrlich gesagt ziemlich schwer...
Recht herzlichen Dank für die Aufmerksamkeit.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 18.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
