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Supremum und Infimum: Korrektur und Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Sa 08.02.2014
Autor: Babybel73

Aufgabe
Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls diese existieren) der Menge
M:={ [mm] \bruch{1}{1+n^{-1}} [/mm] }

Hallo zusammen

Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:

Beh.: Min M = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Bew.:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M gilt: [mm] x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Dies gilt ja immer, da n [mm] \in \IN. [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} [/mm] ist eine untere Schranke, da x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] Min M = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] inf M = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Beh.: Sup M = 1
Bew.:
1) obere Schranke
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M gilt [mm] x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le 1+\bruch{1}{n} \gdw [/mm] 0 [mm] \le \bruch{1}{n} [/mm]
Dies gilt ja, da n [mm] \in \IN [/mm]

Stimmt das alles bis hier hin?

Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste obere Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!



        
Bezug
Supremum und Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Sa 08.02.2014
Autor: abakus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
> diese existieren) der Menge
> M:={ [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

> Hallo zusammen

>

> Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:

>

> Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Bew.:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]
> 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 1
> Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]
> [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere Schranke, da x [mm]\in[/mm]
> M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

>

> Beh.: Sup M = 1
> Bew.:
> 1) obere Schranke
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm]
> 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]
> Dies gilt ja,
> da n [mm]\in \IN[/mm]

>

> Stimmt das alles bis hier hin?

>

> Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste obere
> Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!

>
>
Hallo,
mit elementarer Bruchrechnung wirst du feststellen, dass [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}=\frac{n}{n+1}[/mm] gilt.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Supremum und Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Sa 08.02.2014
Autor: Babybel73

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> > Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
>  > diese existieren) der Menge

>  > M:={ [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}"

> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> }
>  > Hallo zusammen

>  >
>  > Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:

>  >
>  > Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

>  > Bew.:

>  > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]

>  
> > 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
>  
> > n [mm]\ge[/mm] 1
>  > Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]

>  >

> [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere
> Schranke, da x [mm]\in[/mm]
>  > M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M =

>  > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

>  >
>  > Beh.: Sup M = 1

>  > Bew.:

>  > 1) obere Schranke

>  > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm] 1

> [mm]\gdw[/mm]
>  > 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]

>  > Dies

> gilt ja,
>  > da n [mm]\in \IN[/mm]

>  >
>  > Stimmt das alles bis hier hin?

>  >
>  > Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste

> obere
>  > Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!

>  >
>  >

Hallo Abakus.
Das habe ich auch schon festgestellt. Aber das beantwortet ja nicht meine obigen Fragen.... ??



>  Hallo,
>  mit elementarer Bruchrechnung wirst du feststellen,
> dass [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}=\frac{n}{n+1}[/mm] gilt.
>  Gruß Abakus


Bezug
                        
Bezug
Supremum und Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 So 09.02.2014
Autor: steppenhahn

Hallo,


> > > Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
>  >  > diese existieren) der Menge

>  >  > [mm] M:=$\{ \bruch{1}{1+n^{-1}}: n\in\IN\} [/mm]




>  >  > Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:

>  >  >
>  >  > Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

>  >  > Bew.:

>  >  > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]

>  
> >  

> > > 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
>  
> >  

> > > n [mm]\ge[/mm] 1
>  >  > Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]

Ja. Damit ist gezeigt, dass [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] eine untere Schranke der Menge $M$ ist.

> > [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere
> > Schranke, da x [mm]\in[/mm]
>  >  > M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M

> =
>  >  > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

Das ist etwas unsauber aufgeschrieben, aber prinzipiell richtig. Besser:
Weil [mm] $\frac{1}{2}\in [/mm] M$, folgt aus [mm] $\min(M) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] bereits [mm] $\inf(M) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$. [/mm]


>  >  > Beh.: Sup M = 1

>  >  > Bew.:

>  >  > 1) obere Schranke

>  >  > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm]

> 1
> > [mm]\gdw[/mm]
>  >  > 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]

>  >  >

> Dies
> > gilt ja,
>  >  > da n [mm]\in \IN[/mm]

>  >  >
>  >  > Stimmt das alles bis hier hin?

Ja, alles richtig.

>  >  > Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste

> > obere
>  >  > Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!


Rein formal folgt das bereits aus der Tatsache, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{-1}} [/mm] = 1$ ist und 1 eine obere Schranke von $M$ ist.

Das siehst du wie folgt:

Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke u < 1 der Menge M.

Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{-1}} [/mm] = 1$ gibt es [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{1+N^{-1}} [/mm] > u$ (ist dir das klar? - das folgt direkt aus der Definition der Konvergenz, wenn man z.B. [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1-u}{2}$ [/mm] setzt.)

Dies ist aber bereits ein Widerspruch dazu, dass u eine obere Schranke von $M$ sein soll, weil wir ein Element [mm] $\frac{1}{1+N^{-1}} \in [/mm] M$ angegeben haben, dass größer als $u$ ist.

Also ist 1 die kleinste obere Schranke.

Viele Grüße,
Stefan

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