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| Aufgabe | Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] sei mit [mm] a_{k} [/mm] eine reelle Zahl gegeben derart, dass die Menge [mm] \{a_{k}| k \ in \IN \} [/mm] beschränkt ist. Definieren Sie für n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] o_{n} [/mm] : = sup [mm] \{a_{k}|k \ge n\}
[/mm]
und zeigen Sie [mm] \for [/mm] all n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] o_{n} \ge o_{n+1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe einfach keine Idee, was ich machen soll :-(
Ich dreh mich im Kreis...im Prinzip begreife ich nichtmal was da steht. Ich kann mir einfach nichts drunter vorstellen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mi 22.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei mit [mm]a_{k}[/mm] eine reelle Zahl gegeben
> derart, dass die Menge [mm]\{a_{k}| k \ in \IN \}[/mm] beschränkt
> ist. Definieren Sie für n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]o_{n}[/mm] : = sup [mm]\{a_{k}|k \ge n\}[/mm]
> und zeigen Sie [mm]\for[/mm] all n
> [mm]\in \IN[/mm] : [mm]o_{n} \ge o_{n+1}[/mm]
> Ich habe einfach keine Idee, was ich machen soll :-(
> Ich dreh mich im Kreis...im Prinzip begreife ich nichtmal
> was da steht. Ich kann mir einfach nichts drunter
> vorstellen
Das ist aber ganz wichtig! Das Supremum ist doch die kleinste obere Schranke. Wenn jetzt die Menge kleiner wird (durch Weglassen eines Elementes), dann kann die neue kleinste obere Schranke nicht oberhalb der alten liegen.
Nimm einen endlichen Fall: 10 Zahlen, irgendwie geordnet. dann ist das Supremum das Maximum. Jetzt nimm die erste weg und betrachte nur noch die von Nr. 2 bis Nr. 10. Wann ändert sich das Maximum, wann bleibt es gleich?
Wenn du es verstanden hast, kommt die nächste Herausforderung: das Hinschreiben.
Viel Spaß dabei
Dieter
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ja, was das Supremum ist weiß ich. Aber dann hört es eben auch schon auf. Mich schient eher diese Menge zu irritieren. Also, mein Kopg schreit dauernd, dass das sup doch auf jeden Fall immer [mm] a_{k} [/mm] sei
durch n+1 mache ich doch die Menge größer (oder nicht?)
aber dann kann das Supremum für n+1 doch nicht kleiner werden. (Nach Aufgabenstellung ist es ja für n größer als für n+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 22.11.2006 | | Autor: | statler |
> ja, was das Supremum ist weiß ich. Aber dann hört es eben
> auch schon auf. Mich schient eher diese Menge zu
> irritieren. Also, mein Kopg schreit dauernd, dass das sup
> doch auf jeden Fall immer [mm]a_{k}[/mm] sei
>
> durch n+1 mache ich doch die Menge größer (oder nicht?)
Neinnnnnnnnnn!
In der Menge liegen doch die Elemente mit Index [mm] \ge [/mm] n, also weniger.
> aber dann kann das Supremum für n+1 doch nicht kleiner
> werden. (Nach Aufgabenstellung ist es ja für n größer als
> für n+1)
Klaro?
Dieter
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es rattert (aber nur ganz leise)
Also, es wird ein bißchen klarer
Mein erster Denkfeherl war wohl, dass ich davon ausgegangen bin, dass es eine "sortierte" Menge ist, mit dem letzten Element [mm] a_{k}, [/mm] was ich eben als größtes vorausgesetzt habe. (Darum hab ich ja nicht verstanden, wozu da extra nochmal ein sup definiert wird)
Also, damit ich nicht weiter auf dem Holzweg wandle:Die Elemente sind irgendwie "durcheinander" von [mm] a_{ \ge n} [/mm] bis [mm] a_{k}
[/mm]
z.B. n=4 und die Menge [mm] \{ a_{4}, a_{5}...a_{k} \} [/mm] Wobei z.B. [mm] a_{4} [/mm] = 7 sein kann und [mm] a_{5} [/mm] 3... und 7 das größte Element
wenn ich n auf 5 erhöhe, fällt [mm] a_{4} [/mm] raus und die 7 als größtes Element ist weg
da die Menge immer bis [mm] a_{k} [/mm] geht kommt auch durch n+1 kein neues Element dazu. Also kann das bisher größte Element nur drinbleiebn und das sup bleibt, oder das nächszgröße Element ist das neue supremum.
Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mi 22.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
Nimm doch zur Verdeutlichung auch noch mal die Menge mit [mm] a_{k} [/mm] = 1/k. Was passiert dann?
Du bist glaubich auf der richtigen Spur, aber dir fehlt auch ein bißchen die 'Ausdrucksfähigkeit'.
Gruß
Dieter
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Verstanden hab ich es jetzt 
Aber mit der Ausdrucksfähigkeit hast du Recht. Vor allen bekomme ich das Ganze nun nicht ins mathematische Übersetzt.
Ich glaub, ich schreib das einfach als "Prosa" auf
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