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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Sa 11.11.2006 | | Autor: | sirdante |
| Aufgabe | Bestimme sup(X) und inf(X), falls existent. X = [mm] \{x \in \IR | x = \bruch{1}{2n}, n \in \IN \}
[/mm]
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Hallöchen!
Habe diese Sache mit dem Supremum und Infimum ganz gut verstanden, habe allerdings noch ein kleines Problem. Aber zunächst meine Vorgehensweise:
x = [mm] \bruch{1}{2n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] => [mm] \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} [/mm] = x [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] => [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist obere Schranke von X
Außerdem [mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] X, also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = max(X) = sup(X)
Beim Infimum habe ich nun meine Probleme:
Behauptung: inf(X) = 0
Annahme: es gibt eine größere untere Schranke a von X
=> a > 0 und a [mm] \le [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X => inf(X) = [mm] 0+\varepsilon [/mm] , [mm] \varepsilon [/mm] > 0
aber nun bekomme ich Probleme... ich würde dies natürlich gerne zum Widerspruch führen... aber wie mache ich das? Meine Idee: Ich nehme ein neues Element b, welches kleiner als [mm] 0+\varepsilon [/mm] ist und zeige, dass es in X liegt.
zb: b := [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
irgendwie verhakle ich mich da... kann mir jemand zeigen wie ich das mache? oder bin ich da auf dem falschen Dampfer?
Ich danke Euch im vorraus!
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Hallo,
du bist schon auf dem richtigen Dampfer.
Wenn wir annehmen, dass [mm] $\inf(X)=\varepsilon$, [/mm] dann müssen wir ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] finden, so dass $x$ unser Infimum unterschreitet.
Sei [mm] $n_0 [/mm] := [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$. [/mm]
Dann gilt: [mm] $x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n_0} [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Das widerspricht aber unserer Annahme, dass [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] das Infimum unserer Menge ist. Also war unsere Annahme falsch!
Gruß
Martin
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