Supremum, Infimum, Minimum,.. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] A_1= [/mm] { [mm] (-1)^n, n\in [/mm] N }
bestimme Infimum, Minimum, Supremum und Maximum falls vorhanden. |
Könnt ihr mir vielleicht helfen bzw. erklären wie man das macht? Wie man so etwas bestimmt? Es vielleicht an einem Beispiel erklären?
Ich will keine Lösung, versuche einfach nur das mal zu verstehen!!
Grüße, Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Gerade für dieses Beispiel gilt: schreibe Dir die ersten 5, 6 Glieder auf.
Damit sollte man dann eine Gesetzmäßigkeit und damit auch die gesuchten Werte erkennen können.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:56 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Danke Loddar, das werde ich machen.
Ich weiß bloß leider generell nicht, wie man diese Dinge bestimmt.....
Mathegirl
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> Danke Loddar, das werde ich machen.
> Ich weiß bloß leider generell nicht, wie man diese Dinge
> bestimmt.....
Hallo,
wie Loddar sagt: erstmal muß man die Menge verstehen.
Wenn das geschehen ist, ist bei diesen übungsaufgaben meist nicht viel zu bestimmen,
weil man sofort obere Schranken, etc. sieht.
Das, was man sieht, ist dann als Behauptung zu formulieren und zu beweisen.
Dazu ist s natürlich unabdingbar, daß man die Definitionen drauf hat.
Vielleicht kannst Du etwas genauer formulieren, wo Dein Problem liegt,
und mal sagen, was wie für eine Menge M obere Schranke, Supremum, Maximum definiert sind.
Gruß v. Angela
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Was die Begriffe bedeuten weiß ich ja, aber ich kann es nicht richtig anwenden.
[mm] A_1= [/mm] { [mm] (-1)^n |n\in\IN [/mm] }
[mm] A_1= [/mm] { (1,-1,1,-1,1,-1,...) }
Es gibt bei diesem Beispiel keine obere und untere Schranke, denn für n können alle Werte eingesetzt werden.
[mm] A_2= [/mm] { [mm] (-n^{-2k} [/mm] ) [mm] |n,k\in\IN [/mm] }
Bei dem Beispiel weiß ich nicht wie ich das bestimmen soll, wegen den 2 Variablen.
[mm] A_3= \bigcap_{n=1}^{\infty} [/mm] [0, [mm] \bruch{1}{n}]
[/mm]
[mm] A_4= [/mm] { [mm] (n^{((-1)^n)} |n\in\IN [/mm] }
[mm] A_4= [/mm] (0;1;2;0,333;4;2;...)
[mm] A_5= [/mm] { [mm] a^k [/mm] |0<a<1, [mm] k\in\IN_0 [/mm] }
Die Definitionen kenne ich ja, aber kann sie irgendwie nicht anwenden:
Infimum= größte untere Schranke
Supremum= kleinste obere Schranke
Brauche echt hilfe! Würde das gerne verstehen.. :(
Grüße,
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was die Begriffe bedeuten weiß ich ja, aber ich kann es
> nicht richtig anwenden.
>
> [mm]A_1=\{(-1)^n |n\in\IN\}[/mm]
> [mm]A_1= \{ (1,-1,1,-1,1,-1,...) \}[/mm]
Besser gesagt: [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \{1,-1\}$.
[/mm]
> Es gibt bei diesem Beispiel keine obere und untere
> Schranke, denn für n können alle Werte eingesetzt werden.
Nein, die Schranke bezieht sich nicht auf das n, sondern auf die Elemente der Menge, also auf $+1$ und $-1$.
Dies ist eine endliche Menge. Da ist das Supremum immer gleich dem Maximum und das Infimum gleich dem Minimum. Was ist das Maximum und Minimum der Menge [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \{1,-1\}$?
[/mm]
> [mm]A_2=\{(-n^{-2k} ) \mid|n,k\in\IN\}[/mm]
> Bei dem Beispiel weiß ich nicht wie ich das bestimmen
> soll, wegen den 2 Variablen.
Du musst beide Variablen unabhängig voneinander durchzählen. Also erst einmal $n=1$ festhalten und $k$ durchzählen, dann n=2 usw.:
[mm] $-1^{-2}, -1^{-4}, -1^{-6}, \dots$, [/mm]
[mm] $-2^{-2}, -2^{-4}, -2^{-6}, \dots$, [/mm]
[mm] $-3^{-2}, -3^{-4}, -3^{-6}, \dots$, [/mm]
Hier sind alle Werte negativ, also ist 0 eine obere Schranke. Da das Supremum die kleinste obere Schranke ist, weisst du schon einmal, dass es [mm] $\le0$ [/mm] sein muss. Weiter siehst du an dem Schema, das ich hingeschrieben habe, dass die Werte in jeder Zeile nach rechts immer größer (aber dem Betrag nach kleiner) werden: das Gleiche gilt in jeder Spalte. Daher ist der Werte [mm] $-1^{-2}$ [/mm] ganz links oben die kleinste Zahl die vorkommt und damit das Minimum=Infimum.
Bleibt noch zu klären, ob das Supremum kleiner als 0 oder gleich 0 ist. Was meinst du?
> [mm]A_3= \bigcap_{n=1}^{\infty} [0, \bruch{1}{n}][/mm]
Hier ist die Menge eine Vereinigung von unendlich vielen Intervallen. Das sieht gefährlich aus, ist aber ganz harmlos. Denn jedes Intervall geht ja von 0 bis $1/n$, und wenn $n$ immer größer wird, werden die Intervalle immer kleiner. Jedes Intervall ist kleiner als das vorhergehende und vollständig in allen vorhergehenden Intervallen enthalten. Was meinst du, was das Infimum und das Surpremum ist?
> [mm]A_4=\{ (n^{((-1)^n)} \mid n\in\IN\}[/mm]
> [mm]A_4= (0;1;2;0,333;4;2;...)[/mm]
Nein, das stimmt nicht. $0 gehört nicht zu [mm] $\IN$, [/mm] und für $n=5$ steht da [mm] $5^{-1}=0,2$.
[/mm]
Also: [mm] $A_5=\{1;2;1/3;4;1/5;6;1/7;\dots\}$.
[/mm]
Gibt es hier eine obere Schranke?
> [mm]A_5=\{ a^k \mid0
Hier besteht die Menge aus [mm] $A_5=\{1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,\dots\}$. [/mm] $a$ ist größer als 0, aber kleiner als 1. Kannst du (irgend)eine obere bzw. untere Schranke angeben? Ist das die kleinste bzw. größte? Was also sind Infimum und Supremum?
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank Rainer!
Ich bin mit einigen Überlegungen zu folgenden Ergebnissen gekommen:
[mm] A_1=\{(-1)^{n}|n\in\IN\} [/mm]
[mm] A_1=(-1;1)
[/mm]
Maximum=Supremum= 1
Minimum=Infimum= -1
[mm] A_2=\{-n^{-2k}|n,k\in\IN\}
[/mm]
Maximum=0
Supremum [mm] s=\ge [/mm] x (Aber wie der Beweis hierzu aussehen muss weiß ich nicht.
Minimum= Infimum= [mm] -1^{-2}
[/mm]
[mm] A_3=\bigcap_{n=1}^{\infty}[0,\bruch{1}{n}]
[/mm]
Maximum= 0 (Zahlen werden immer kleiner)
Supremum= [mm] \ge [/mm] 0 = [mm] s\ge [/mm] x
Minimum=0
Infimum= 1
(Beweisen kann ich es nicht förmlich)
[mm] A_4=\{(n^{((-1^{n}})\}
[/mm]
Maximum= 0
Supremum [mm] s\ge [/mm] x, [mm] s\le0
[/mm]
[mm] A_5=\{a^k|0
Maximum= 1
Minimum =0
Supremum /Infimum??
Ich bitte nochmals um Hilfe. Ich habe versucht alles zu bestimmen, denke aber das es wieder falsch ist. Ich kann es auch nicht formell bei jeder Aufgabe beweisen bzw ich soll ja meine Entsscheidung in jeder Aufgabe begründen.
Ich habe die Aufgaben nun so abgegeben und vielleicht könnt ihr mir die richtigen "Antworten" schreiben, bzw. korrigieren und begründen/beweisen.
Denn nur wenn ich bei Aufgaben mal richtige Ergebnisse habe kann ich daran weiterarbeiten und es verstehen.
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo.
> Ich bin mit einigen Überlegungen zu folgenden Ergebnissen
> gekommen:
>
> [mm]A_1=\{(-1)^{n}|n\in\IN\}[/mm]
> [mm]A_1=(-1;1)[/mm]
>
> Maximum=Supremum= 1
> Minimum=Infimum= -1
Zur Notation: Die Schreibweise [mm] $A_1=(-1;1)$ [/mm] ist standardmäßig für ein offenes Intervall und nicht für eine Menge. Schreibe [mm] $A_1=\{-1,1\}$. [/mm] Dein Supremum und Infimum stimmen. Da die Werte vom Supremum (bzw. vom Infimum) in der Menge [mm] $A_1$ [/mm] enthalten sind, sind sie zugleich das Maximum (bzw. Infimum) der Menge
> [mm]A_2=\{-n^{-2k}|n,k\in\IN\}[/mm]
> Maximum=0
> Supremum [mm]s=\ge[/mm] x (Aber wie der Beweis hierzu aussehen muss
Das Supremum (= kleinste obere Schranke) ist $0$. Da $0$ kein Element der Menge ist, gibt es kein Maximum dieser Menge. Das Infimum ist [mm] $-1^{-2}=-1$. [/mm] Da $-1$ in der Menge enthalten ist, ist $-1$ auch das Minimum der Menge.
> weiß ich nicht.
> Minimum= Infimum= [mm]-1^{-2}[/mm]
>
> [mm]A_3=\bigcap_{n=1}^{\infty}[0,\bruch{1}{n}][/mm]
> Maximum= 0 (Zahlen werden immer kleiner)
> Supremum= [mm]\ge[/mm] 0 = [mm]s\ge[/mm] x
> Minimum=0
> Infimum= 1
>
> (Beweisen kann ich es nicht förmlich)
Hier muss Dir jemand anderes noch einmal etwas zu sagen.
> [mm]A_4=\{(n^{((-1^{n}})\}[/mm]
> Maximum= 0
> Supremum [mm]s\ge[/mm] x, [mm]s\le0[/mm]
Das stimmt nicht. Mache Dir eine Liste (Teilmenge) mit allen Elementen dieser Menge für [mm] $n\in\IN$ [/mm] geradzahlig. D.h. Betrachte die Elemente für $n=2k$ mit [mm] $k\in\IN$. [/mm] Was stellst Du für das Supremum und Maximum fest? (--> Antwort: Es gibt beides nicht.) Das Infimum dieser Menge ist $0$. Da $0$ kein Element der Menge ist, gibt es kein Minimum.
> [mm]A_5=\{a^k|0
> Maximum= 1
> Minimum =0
> Supremum /Infimum??
>
Das Supremum dieser Menge ist $1$. Für $n=0$ hast Du das Element [mm] $a^0=1\in A_5$. [/mm] Damit ist $1$ auch das Maximum. Infimum ist $0$ und Minimum gib es nicht.
>
> Ich bitte nochmals um Hilfe. Ich habe versucht alles zu
> bestimmen, denke aber das es wieder falsch ist. Ich kann es
> auch nicht formell bei jeder Aufgabe beweisen bzw ich soll
> ja meine Entsscheidung in jeder Aufgabe begründen.
> Ich habe die Aufgaben nun so abgegeben und vielleicht
> könnt ihr mir die richtigen "Antworten" schreiben, bzw.
> korrigieren und begründen/beweisen.
> Denn nur wenn ich bei Aufgaben mal richtige Ergebnisse habe
> kann ich daran weiterarbeiten und es verstehen.
>
>
> Grüße
> Mathegirl
>
>
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Do 29.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Wäre nett, wenn jemand kontrollieren könnte ob das stimmt...ansonsten mir bitte hinweise geben oder es vorrechnen. Ich möchte das gerne irgendwann verstehen. Und mit rumraten komme ich nicht weiter.
Grüße
mathegirl
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wie genau kann man einen Infimum/Supremumwert bestimmen??
ich bin ab morgen nachmittag im urlaub, also falls es vorher noch jemand schafft durchzusehen...ich möchte gerne über das We meinen nächsten Übungszettel (wieder dieses Thema) ma alleine hinbekomen..
Grüße
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> wie genau kann man einen Infimum/Supremumwert bestimmen??
Hallo,
wenn Du mit "bestimmen" meinst: "berechnen", dann tut man das bei diesen Aufgaben meist überhaupt nicht.
Die Vorgehensweise ist so:
zunächst einmal muß man die gegebene Menge verstehen und sich einen Eindruck davon verschaffen, welche Elemente drinliegen.
Das nächste ist, daß man genau wissen muß, wie obere Schranke/Supremum/Maximum bzw untere Schranke/Infimum/Minimum definiert sind.
Dann schaut man auf die Menge und stellt seine Behauptungen auf, z.B. "7 ist eine untere Schranke der Menge X".
Dies beweist man nun, indem man zeigt, daß für alle [mm] x\in [/mm] X gilt [mm] 7\le [/mm] x.
Wie man das zeigt, hängt natürlich von der Machart der Menge ab.
Beim Supremum genauso: will ich zeigen, daß 8 das Supremum der Menge Y ist, so muß ich zeigen, daß es eine obere Schranke ist, und daß es keine obere Schranke gibt, die kleiner als 8 ist.
Das "Wie" hängt wieder von der Menge ab.
Wenn man feststellt, daß 9 das Infimum der Menge Z ist, und die 9 in Z liegt, dann ist die 9 das Minimum von Z.
Gruß v. Angela
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