Supremum, Infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum (falls diese existieren) für die folgenden Mengen:
[mm] M_{1}=\{x^2-6x+5 | x\in(-3,5]\} [/mm] |
Hallo zusammen,
Prinzipiell würde ich für Extrema der Menge erstmal die Funktion, welche ja mit ihrem Definitionsbereich alle Elemente der Menge beschreibt, ableiten:
f’(x)=2x-6
f’’(x)=2 (d.h. doch, dass mir f’(x)=0 nur minima liefert?!)
für f’(x)=0 ergibt sich dann x=3 als Minimum?
Wenn ich die Ränder betrachte erhalte ich f(3)=-4 (wobei 3 ja nicht Element der Menge ist)...Heißt das jetzt dass es Folgen aus der Menge gibt, die gegen dieses -4 konvergieren, also ist -4 ein Infimum? (Da -4 [mm] \not\in M_{1}?)
[/mm]
Wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, bin mir etwas unschlüssig.
Grüße
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> Bestimmen Sie jeweils das Infimum, Supremum, Minimum und
> Maximum (falls diese existieren) für die folgenden
> Mengen:
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> [mm]M_{1}=\{x^2-6x+5 | x\in(-3,5]\}[/mm]
> Hallo zusammen,
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> Prinzipiell würde ich für Extrema der Menge erstmal die
> Funktion, welche ja mit ihrem Definitionsbereich alle
> Elemente der Menge beschreibt, ableiten:
Hallo,
ich würde das anders machen, aber man kann es so machen, wie Du sagst.
>
> f’(x)=2x-6
> f’’(x)=2 (d.h. doch, dass mir f’(x)=0 nur minima
> liefert?!)
>
> für f’(x)=0 ergibt sich dann x=3 als Minimum?
Ja. Du mußt, wenn Du so arbeitest, bei Funktionen über abgeschlossenen Intervallen immer noch den Rand angucken, hier die Stelle x=5.
es ist f(3)=-4, f(5)=0, also ist x=3 tatsächlich die Stelle des absoluten Minimums von [mm] f(x)=x^2-6x+5.
[/mm]
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> Wenn ich die Ränder betrachte erhalte ich [mm] f(\red{-}3)=-4 [/mm] (wobei 3
> ja nicht Element der Menge ist)
Hm. Jetzt wird's kraus...
Ich glaube, Du hast die Menge [mm] M_1 [/mm] nicht verstanden.
In [mm] M_1 [/mm] sind alle Zahlen, die man bekommt, wenn man in [mm] f(x)=x^2-6x+5 [/mm] sämtliche Zahlen aus dem Intervall (-3,5] einsetzt.
[mm] M_1 [/mm] ist keine Teilmenge von (-3, 5], was Dir im Kopf herumzuspuken scheint.
Mal anders ausgedrückt: [mm] M_1 [/mm] ist das Bild von (-3,5] unter der Funktion f mit [mm] f(x):=x^2-6x+5.
[/mm]
Wenn Du Dir die Sache mal genau überlegst, dann stellst Du fest: [mm] M_1=[-4, [/mm] 32).
-4 ist natürlich das Minimum dieser Menge, denn ??? (Def. von Min. anschauen)
-4 ist auch Infimum der Menge, denn ??? (Def. von Inf. anschauen.).
Für das andere Intervallende sieht die Sache etwas anders aus.
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Ok, dann sind Minimum/ Infimum ja jetzt bestimmt. Kommen wir zu Maximum bzw. Supremum: Ich müsste mir doch quasi eine Folge aus dem Definitionsbereich suchen, welche gegenx=-3 konvergiert, da das Bild vonx=-3 ja grade nicht mehr in der Menge liegt. D.h. der Grenzwert der Funktion an der Stelle x=-3 müsste ja dann grade das Supremum sein. Maximum hat die Funktion dann keines.
Jetzt stellt sich die Frage, wie man das Konkret macht? Kann ich mir jetzt irgendeine Folge definieren, die gegen 3 konvergiert, wie z.B.: [mm] a_{n}:=3+\bruch{1}{n^2}?
[/mm]
Wäre super, wenn mir da noch jemand helfen könnte!
Gruß
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> Ok, dann sind Minimum/ Infimum ja jetzt bestimmt. Kommen
> wir zu Maximum bzw. Supremum: Ich müsste mir doch quasi
> eine Folge aus dem Definitionsbereich suchen,
Hallo,
wie habt Ihr eigentlich Supremum/Maximum definiert?
Gruß v. Angela
welche
> gegenx=-3 konvergiert, da das Bild vonx=-3 ja grade nicht
> mehr in der Menge liegt. D.h. der Grenzwert der Funktion an
> der Stelle x=-3 müsste ja dann grade das Supremum sein.
> Maximum hat die Funktion dann keines.
>
> Jetzt stellt sich die Frage, wie man das Konkret macht?
> Kann ich mir jetzt irgendeine Folge definieren, die gegen 3
> konvergiert, wie z.B.: [mm]a_{n}:=3+\bruch{1}{n^2}?[/mm]
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> Wäre super, wenn mir da noch jemand helfen könnte!
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 So 06.02.2011 | | Autor: | abakus |
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> > Ok, dann sind Minimum/ Infimum ja jetzt bestimmt. Kommen
> > wir zu Maximum bzw. Supremum: Ich müsste mir doch quasi
> > eine Folge aus dem Definitionsbereich suchen,
Hallo,
mach es dir nicht so schwer. Die quadratische Funktion OHNE die Intervallbeschränkung ist für alle reellen Zahlen stetig, somit gilt an jeder Stelle [mm] f(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0}f(x).
[/mm]
Damit ist auch [mm] \limes_{x\rightarrow -3}f(x) [/mm] genau die Zahl, die dem Funktionswert an der Stelle -3 entsprechen würde, wenn die Funktion auch dort definiert wäre.
Gruß Abakus
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> Hallo,
>
> wie habt Ihr eigentlich Supremum/Maximum definiert?
>
> Gruß v. Angela
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> welche
> > gegenx=-3 konvergiert, da das Bild vonx=-3 ja grade nicht
> > mehr in der Menge liegt. D.h. der Grenzwert der Funktion an
> > der Stelle x=-3 müsste ja dann grade das Supremum sein.
> > Maximum hat die Funktion dann keines.
> >
> > Jetzt stellt sich die Frage, wie man das Konkret macht?
> > Kann ich mir jetzt irgendeine Folge definieren, die gegen 3
> > konvergiert, wie z.B.: [mm]a_{n}:=3+\bruch{1}{n^2}?[/mm]
> >
> > Wäre super, wenn mir da noch jemand helfen könnte!
> >
> > Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mo 07.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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