Supremum/Infimum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Do 28.04.2005 | | Autor: | Marianne |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo ihr
Ich soll von vollgenden Mengen das Supremum/Infimum rausfinden
oder Beweisen dass es keins gibt
Weiß aber nict genau wie es funktioniert.
[mm] A=\bruch{m}{m+n}
[/mm]
[mm] B=\bruch{-n}{m+n} [/mm] m,n in [mm] \IN
[/mm]
Wie brauchen diese für A;B;A+B;A*B
Ich würde erstmal nachweisen, dass A und B zw. 0 und 1 sind, dies ist ja offensichtlich, obwohl ich nicht weiß wie ich die beweisen soll.
Aber wie man davon dann auf die obere und intere Schranke kommt?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Marianne,
du meinst die Mengen
[mm] $A:=\left\{ \frac{m}{m+n}: m,n\in\IN\right\}$ [/mm] und
[mm] $B:=\left\{ \frac{-n}{m+n}: m,n\in\IN\right\}$?
[/mm]
> Ich würde erstmal nachweisen, dass A und B zw. 0 und 1
> sind, dies ist ja offensichtlich, obwohl ich nicht weiß wie
> ich die beweisen soll.
Echt? Ich dachte zB das $B$ für $n=1$ und $m=1$ den Wert [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] hat. Ist denn bei euch nach Definition $0$ eine natürliche Zahl? Ich würde sagen, dass das wohl eher nicht so ist, weil sonst die Situation [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] auftauschen könnte.
Naja, du kannst ja einfach mal den Bruch aufspalten: [mm] $\frac{m}{m+n}=\frac{m+n-n}{m+n}=\frac{m+n}{m+n}+\frac{-n}{m+n}=1-\frac{n}{m+n}$
[/mm]
D.h. wenn du etwas über die Elemente von $A$ zeigst dann auch für die Elemente von $B$. Da zB [mm] $\frac{-n}{m+n}<0$ [/mm] müssen alle Elemente von $A$ kleiner als $1$ sein. Tatsächlich kann man auch durch eine geeignete Grenzbetrachtung zeigen, dass alle Elemente von $A$ größer als Null sind. Wenn du mit den Grenzwerten arbeitest ist auch sichergestellt, dass es sich direkt um das Supremum bzw. Infimum handelt, weil es ja in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] unendlich viele Folgenglieder gibt.
Damit sieht man, dass für [mm] $b\in [/mm] B$ gilt: $-1<b<0$.
Mit diesen Überlegungen kann man leicht $A+B$ untersuchen. Bei [mm] $A\*B$ [/mm] musst du nochmal aufpassen.
Viel Erfolg.
Max
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