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Ich hoff ihr könnt mir bei einer Aufgabe helfen, die ich bis Donnerstag gelöst haben sollte:
Bestimmen Sie das Supremum und Infimum von
$M:= [mm] \{(1-1/n^{2})^{n} | n\in \IN \}$
[/mm]
Hinweis: Sie können benutzen, daß für n [mm] \in \IN [/mm] und a [mm] \in \IR, [/mm] 0<a<1, die Ungleichung [mm] 0
Benutzen sie die Bernoullische Ungleichung
Was kann ich mit diesem Ansatz anfangen??? Eigentlich ist doch mit den Ungleichungen 0<a<1 und [mm] 0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:04 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Falkenauge (M.A.S.H. Fan?),
durch die Angaben in der Aufgabenstellung sind Infimum und Supremum in der Tat eingegrenzt worden, aber bewiesen ist noch nichts.
Die Bernoulli Ungleichung [mm] $\forall x>-1,x\not=0,n>1:\quad(1+x)^{n}>1+n*x$ [/mm] hat doch auffallende Ähnlichkeit mit der Konstruktion der zu untersuchenden Menge. Für das Supremum - es ist 1 - musst Du nur nachweisen, dass für jedes $ [mm] \varepsilon>0$ [/mm] ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert mit [mm] $1-\varepsilon<(1-\frac{1}{n^2})^n<1$ [/mm] (oder [mm] $\le1$ [/mm] - ich habe da verschiedene Definitionen gesehen (Blick in's Skript hilft)).
Ich hoffe, das hilft ein wenig,
Peter
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> Bestimmen Sie das Supremum und Infimum von
> [mm]M:= \{(1-1/n^{2})^{n} | n\in \IN \}[/mm]
>
>
> Hinweis: Sie können benutzen, daß für n [mm]\in \IN[/mm] und a [mm]\in \IR,[/mm]
> 0<a<1, die Ungleichung [mm]0
> Benutzen sie die Bernoullische Ungleichung
>
> Was kann ich mit diesem Ansatz anfangen??? Eigentlich ist
> doch mit den Ungleichungen 0<a<1 und [mm]0
> Infimum beschrieben oder??? Wie beweise ich sowas bitte???
Hallo,
durch den Hinweis wird man darauf gestoßen, daß 0 und 1 Kandidaten für Infimum und Supremum sind. Bewiesen ist dadurch gar nichts, und manchmal kann man allerböseste Überraschungen erleben, z. B. wenn man es mit der Grundmenge [mm] \IQ [/mm] zu tun hat.
Es ist also ein Beweis nicht überflüssig.
Wenn man etwas beweisen möchte ist es nützlich, sich die Begriffe klar zu machen, oft erwächst daraus schon der Plan für den Beweis.
Nehmen wir uns "Supremum" vor. Was ist das Supremum einer Menge? Zum einen eine obere Schranke, zum anderen sogar die KLEINSTE obere Schranke. Was bedeutet die "kleinste obere Schranke"? Jede andere obere Schranke ist größer. Oder: keine andere obere Schranke ist kleiner.
Nun zum Beweis:
Beh.: Es ist 1=sup M
zu zeigen: i) 1 ist obere Schranke
ii) 1 ist die kleinste obere Schranke
zu i) Das ist leicht. Steht ja schon da.
zu ii) Sei S eine obere Schranke von M
Dann ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] S [mm] \ge [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n \ge [/mm] ... [mm] \ge1
[/mm]
==> 1 ist die kleinste obere Schranke.
Infimum analog.
Gruß v. Angela
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Sorry, aber deinen Beweis versteh ich nicht ganz, i) ist klar! Aber was is mit ii)?? Klar das wir eine obere Schranke suchen müssen die kleiner ist als das angenommene Supremum M und dadurch zeigen das es eine solche nicht gibt. Aber wie??? Ich meine jetzt absolut praktisch, wie muß ich das jetzt aufschreiben???
Hab leider keinen Bezug zu gewissen Beweisen, naja, erstes Sem eben:-P!!!
Danke dir schonmal im Vorraus, auch für das vorherige Posting!!!
Gruß Christian
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> Sorry, aber deinen Beweis versteh ich nicht ganz, i) ist
> klar! Aber was is mit ii)?? Klar das wir eine obere
> Schranke suchen müssen die kleiner ist als das angenommene
> Supremum M und dadurch zeigen das es eine solche nicht
> gibt. Aber wie??? Ich meine jetzt absolut praktisch, wie
> muß ich das jetzt aufschreiben???
Hallo,
ich hatte doch schon angefangen, gucken wir un das nochmal an.
Wir haben ja bereits eine obere Schranke gefunden, die 1. Von dieser wollen wir zeigen, daß es die kleinste obere Schranke ist.
>> zu ii) Sei S eine obere Schranke von M
[Wir nehmen also eine obere Schranke S daher.]
>>
>> Dann ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] S [mm] \ge [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm]
[Weil's ja eine obere Schranke der zu betrachtenden Menge ist.]
[Nun muß man mit Adleraugen das Ziel ins Visier nehmen. Was ist das Ziel? Zu zeigen, daß diese obere Schranke S [mm] \ge [/mm] 1 ist. Wenn einem das gelingt, weiß man , daß 1 die kleinste obere Schranke ist. So, nachdem das Ziel eingekreist ist, muß man beherzt draufzustürzen. Was hat man zu tun? Eine Abschätzung nach unten zu machen, an deren Ende 1 steht. Das soll "..." andeuten. Dann hat man's.]
>> [mm] \ge [/mm] ... [mm] \ge1 [/mm]
[Für die Abschätzung als solche brauchst Du Deine Fantasie nicht sonderlich zu bemühen, der Bernoulli-Tip stand doch schon in der Aufgabe.]
>> ==> 1 ist die kleinste obere Schranke.
Gruß v. Angela
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