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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Fr 01.11.2013 | | Autor: | yannikk |
Hallo alle zusammen,
Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet:
Für beschränkte Mengen [mm] \emptyset \subset \not= [/mm] A,B [mm] \subset \IR [/mm] gilt
sup(A [mm] \cup [/mm] B) = [mm] max\{ sup A, sup B \}
[/mm]
Ich habe nun folgendes gemacht.
Setze a = sup A
b = sup B
Falls a [mm] \ge [/mm] b
sup(A [mm] \cup [/mm] B) = a
Falls a < b
sup(A [mm] \cup [/mm] B) = b
Daraus folgt
sup(A [mm] \cup [/mm] B) = [mm] max\{ sup A, sup B \}
[/mm]
Reicht das aus, so zu zeigen ? Oder muss man da noch etwas ergänzen.
Vielen Dank für Feedback!
Yannik
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Hallo,
also deine Ausführungen sind unzureichend.
> Hallo alle zusammen,
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> Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet:
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> Für beschränkte Mengen [mm]\emptyset \subset \not=[/mm] A,B
> [mm]\subset \IR[/mm] gilt
>
> sup(A [mm]\cup[/mm] B) = [mm]max\{ sup A, sup B \}[/mm]
>
> Ich habe nun folgendes gemacht.
>
> Setze a = sup A
> b = sup B
>
> Falls a [mm]\ge[/mm] b
>
> sup(A [mm]\cup[/mm] B) = a
Und warum nicht b? Warum also gerade a als Supremum?
>
> Falls a < b
>
> sup(A [mm]\cup[/mm] B) = b
>
> Daraus folgt
>
> sup(A [mm]\cup[/mm] B) = [mm]max\{ sup A, sup B \}[/mm]
Warum folgt das?
>
>
> Reicht das aus, so zu zeigen ? Oder muss man da noch etwas
> ergänzen.
>
> Vielen Dank für Feedback!
>
> Yannik
Ich würde zwei Sachen zeigen:
1. [mm] max\{ sup A, sup B \}\le sup(A\cup{}B) [/mm] und
2. [mm] max\{ sup A, sup B \}\ge sup(A\cup{}B)
[/mm]
Denn dann folgt die Gleichheit.
Zu 1.
Wegen [mm] A\subseteq A\cup{B} [/mm] folgt: [mm] sup(A)\le sup(A\cup{}B) [/mm] und genauso gilt auch [mm] sup(B)\le sup(A\cup{}B)
[/mm]
Also ist schon einmal [mm] max\{sup(A),sup(B)\}\le sup(A\cup{}B)
[/mm]
Zu 2.
Sei [mm] x\in A\cup{B}. [/mm] Dann ist natürlich [mm] x\le [/mm] sup(A) falls [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\le [/mm] sup(B), falls [mm] x\in [/mm] B. Damit gilt aber sicher:
[mm] x\le max\{ sup A, sup B \}.
[/mm]
Weiter ist die rechte Seite also obere Schranke. Gehe nun zum Supremum über und du erhältst die gewünscht Ungleichung:
[mm] max\{ sup A, sup B \}\ge sup(A\cup{}B)
[/mm]
Damit gilt also Gleichheit: [mm] max\{ sup A, sup B \}=sup(A\cup{}B)
[/mm]
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