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| Aufgabe | a)Es sei M eine nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm]
Dann existiert eie Folge [mm] (a_n) [/mm] von Elementen in M welche gegen sup (M) konvergiert.
b)A und B sind nicht leere, Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Wir definieren
A+B:={a+b|a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B}
Es sei A=[u,v] und B=[x,y) zwei Intervalle. Was ist A+B in der Intervallschreibweise?
c.)Es seien A und B zwei nicht leere, nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass
sup(A+B)=sup(A) + sup(B) |
Hallo zusammen,
also habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und da ist folgendes bei rausgekommen:
a.)Sei m [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow m\lesup(M)
[/mm]
Naja so richtig weit komme ich hier nicht. Am Schluss muss sowas rauskommen: [mm] |a_n-sup(M)|<\varepsilon
[/mm]
b.)kommt hier einfach A+B={[u,v] [mm] \cup [/mm] [x,y)| [u,v]=A und [x,y)=B}??
c.)
(1)sei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B
dann gilt a [mm] \le [/mm] sup(A) und b [mm] \le [/mm] sup(B)
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \le [/mm] sup(A)+sup(B)
(2)zu zeigen: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: [mm] s-a<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] sup A + sup B - [mm] \varepsilon \le [/mm] sup (A+B)
[mm] \gdw [/mm] sup A + sup B - sup [mm] (A+B)\le \varepsilon [/mm]
[mm] \gdw [/mm] sup A + sup B - sup [mm] (A+B)\le [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] sup A + sup B = sup (A+B)
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Beste Grüße
Neuling88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> a)Es sei M eine nicht leere, nach oben beschränkte
> Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
> Dann existiert eie Folge [mm](a_n)[/mm] von Elementen in M welche
> gegen sup (M) konvergiert.
> b)A und B sind nicht leere, Teilmengen von [mm]\IR.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir
> definieren
> A+B:={a+b|a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> Es sei A=[u,v] und B=[x,y) zwei Intervalle. Was ist A+B in
> der Intervallschreibweise?
> c.)Es seien A und B zwei nicht leere, nach oben
> beschränkte Teilmengen von [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> sup(A+B)=sup(A) + sup(B)
> Hallo zusammen,
>
> also habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und da
> ist folgendes bei rausgekommen:
> a.)Sei m [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow m\lesup(M)[/mm]
> Naja so richtig
> weit komme ich hier nicht. Am Schluss muss sowas
> rauskommen: [mm]|a_n-sup(M)|<\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zu jedem n \in \IN existiert ein a_n \in M mit: $a_n > sup(M) -1/n$. Somit gilt:
$sup(M) -1/n< a_n \le sup(M)$ für jedes n.
>
> b.)kommt hier einfach A+B={[u,v] [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[x,y)| [u,v]=A und
> [x,y)=B}??
Nein. Zeige: [u,v] +[x,y)= [u+x, v+y)
> c.)
> (1)sei a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B
> dann gilt a [mm]\le[/mm] sup(A) und b [mm]\le[/mm] sup(B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\le[/mm] sup(A)+sup(B)
> (2)zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A:
> [mm]s-a<\varepsilon[/mm]
Nein. Du mußt noch zeigen: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A+B: [mm]sup(A)+sup(B)-a<\varepsilon[/mm]
FRED
> [mm]\Rightarrow[/mm] sup A + sup B - [mm]\varepsilon \le[/mm] sup (A+B)
> [mm]\gdw[/mm] sup A + sup B - sup [mm](A+B)\le \varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] sup A + sup B - sup [mm](A+B)\le[/mm] 0
> [mm]\gdw[/mm] sup A + sup B = sup (A+B)
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> Beste Grüße
> Neuling88
>
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> also habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und da
> ist folgendes bei rausgekommen:
> a.)Sei m M
> Naja so richtig
> weit komme ich hier nicht. Am Schluss muss sowas
> rauskommen:
"Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] existiert ein [mm] a_n \in [/mm] M mit: [mm] a_n>sup(M)-1/n [/mm] . Somit gilt: [mm] sup(M)-1/n
ist das hier schon die Lösung zu a.) ? wurde hier jetzt nicht nur gezeigt, dass [mm] a_n [/mm] eine obere Schranke und zwar sup(M) hat? muss man nicht nochzeigen, dass es auch gegen dieses konvergiert oder gilt das schon?
Danke für die Antwort.
Beste Grüße
Neuling88
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > also habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und da
> > ist folgendes bei rausgekommen:
> > a.)Sei m M
> > Naja so richtig
> > weit komme ich hier nicht. Am Schluss muss sowas
> > rauskommen:
>
>
> "Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] existiert ein [mm]a_n \in[/mm] M mit:
> [mm]a_n>sup(M)-1/n[/mm] . Somit gilt: [mm]sup(M)-1/n
> jedes n"
>
> ist das hier schon die Lösung zu a.) ? wurde hier jetzt
> nicht nur gezeigt, dass [mm]a_n[/mm] eine obere Schranke und zwar
> sup(M) hat? muss man nicht nochzeigen, dass es auch gegen
> dieses konvergiert oder gilt das schon?
Wir haben:
[mm]sup(M)-1/n
1. Was treibt die Folge (sup(M)-1/n) für n [mm] \to \infty [/mm] ?
2. Was treibt die konstante Folge Folge (sup(M)) für n [mm] \to \infty [/mm] ?
3. Was treibt dann die Folge [mm] (a_n) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
>
> Danke für die Antwort.
> Beste Grüße
> Neuling88
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Hallo Fred,
> Wir haben:
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> [mm]sup(M)-1/n
>
> 1. Was treibt die Folge (sup(M)-1/n) für n [mm]\to \infty[/mm] ?
>
> 2. Was treibt die konstante Folge Folge (sup(M)) für n [mm]\to \infty[/mm]
> ?
>
> 3. Was treibt dann die Folge [mm](a_n)[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] ?
>
> FRED
> >
> > Danke für die Antwort.
> > Beste Grüße
> > Neuling88
>
Was genau meinst du mit "Was treibt...für n [mm] \to \infty"?
[/mm]
Meinst du damit: "Gegen was läuft Folge..."?
Wenn du das meinst dann wäre
lim sup(M)-1/n = sup (M)
n [mm] \to \infty
[/mm]
lim sup(M) = sup (M)
n [mm] \to \infty
[/mm]
Dann auch
lim [mm] a_n [/mm] = sup(M)
n [mm] \to \infty
[/mm]
DAs wäre doch das Sandwich- Lemma oder? Aber das hatten wir noch nicht in der Vorlesung...Darf ich das dann trotzdem anwenden?
Danke für die Hilfe.
Grüße
Neuling88
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
egal ob ihr das Sandwich Lemma hattet, eine Zahl die zwischen
a und a liegt kann nicht was anderes als a sein!
sonst bilde halt die [mm] Differenz|a_n-sup [/mm] (M)| was weisst du darüber?
Gruss leduart
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