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Superposition < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Superposition: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:18 Fr 02.06.2006
Autor: Markus23

Aufgabe
ich möchte diese sinus Funktionen Addieren.
y1=4*sin(2t)
y2=3*sin(2t+60°)

Hallo,
ich weiß das man y1 und y2 auch so schreiben kann:
y1=4*(cos(2t)+i sin(2t))
y2=3*(cos(2t+60)+i sin(2t+60))
aber wie komme ich dazu?

        
Bezug
Superposition: Komplexe e-Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Fr 02.06.2006
Autor: Gnometech

Gruß!

Naja, nicht ganz. Du kannst die beiden Funktionen als Imaginärteil einer komplexen Funktion auffassen.

Geometrisch gesehen liegt für jedes reelle $t$ der Punkt [mm] $(\cos [/mm] t, [mm] \sin [/mm] t)$ auf dem Einheitskreis mit Winkel $t$. (Das ist klar).

Fasst man die Punkte in der Ebene als komplexe Zahlen auf, haben also alle Punkte auf dem Einheitskreis die Form [mm] $\cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$ für ein $t [mm] \in \IR$, [/mm] welches den Winkel angibt. Insofern kann man den Sinus als Imaginärteil dieser komplexen Zahl ansehen.

Die Bedeutung liegt darin, dass sich für diese Zahl eine "abkürzende Schreibweise" eingebürgert hat, man schreibt nämlich

[mm] $e^{it} [/mm] = [mm] \cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$

Natürlich steckt da ein tieferer Sinn hinter - wenn ihr schon Taylor-Reihen gemacht habt, kannst Du ja versuchen, diese Formel mit Sinn zu füllen. Aber meist werden Sinus und Cosinus eben wie oben definiert.

Das Schöne an dieser Schreibweise ist, dass die üblichen Gesetze gelten:

[mm] $e^{it} \cdot e^{is} [/mm] = [mm] e^{i(t+s)}$ [/mm]

Also bei Multiplikation addieren sich die Winkel. Ausgeschrieben läuft das auf Additionstheoreme hinaus.

Ich hoffe, ich konnte den Sinn ein wenig erläutern... :-)

Lars

Bezug
                
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Superposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Fr 02.06.2006
Autor: Markus23

Hallo, kann es sein,
das die Addition von 2-er Schwinungungen nichts direkt  mit dem  Additionstheorem zutun hat,
sondern das mein die Schwingungen als zeiger darstellen kann und das wiederrum als Komplex.

gruß Markus

Bezug
                        
Bezug
Superposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Fr 02.06.2006
Autor: Herby

Hallo Markus,


> Hallo, kann es sein,
> das die Addition von 2-er Schwinungungen nichts direkt  mit
> dem  Additionstheorem zutun hat,
> sondern das mein die Schwingungen als zeiger darstellen
> kann und das wiederrum als Komplex.

du kannst das eine in das andere umformen :-)

aber erst mal zu deinem Additionstheorem:

[mm] y=y_1+y_2 [/mm]

$ y=4*sin(2t)+3*sin(2t+60°) $


jetzt wende für [mm] y_2 [/mm] das Additionstheorem

[mm] sin(\omega*t+\phi_2)=sin(\omega*t)*cos(\phi_2)+cos(\omega*t)*sin(\phi_2) [/mm] an.

dann sortierst du nach sin und cos und hast dein neues y.


Liebe Grüße
Herby



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Bezug
Superposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Fr 02.06.2006
Autor: Markus23

danke habe es verstanden :-))

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